设[tex=1.714x1.214]jsM/Lg33JMLvoOCckk59rQ==[/tex]是线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]中的向量，[tex=1.071x1.286]U4awQ74hGmTHJgQmKU0Jmg==[/tex]是[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的子空间，向量[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]与子空间[tex=1.071x1.286]U4awQ74hGmTHJgQmKU0Jmg==[/tex]生成的子空间记为[tex=0.786x1.286]sgM90Q/VISKeSqiI8AMXRw==[/tex]，向量[tex=0.571x1.214]CyLt5nwVs0oLAbCn8AssqQ==[/tex]与子空间[tex=1.071x1.286]U4awQ74hGmTHJgQmKU0Jmg==[/tex]生成的子空间记为[tex=0.929x1.286]nrJzN9qRndstwtgYfof7gw==[/tex]。证明：如果[tex=1.929x1.214]6AEanCozWf0T3pTNatNASA==[/tex]，但[tex=2.857x1.286]eyYnFseADpS7d7w9tWtMcACaEqY5RUcLKhFvrazV6RM=[/tex]，则[tex=2.714x1.071]0bIJyKcLSZsDO3hqr0GGng==[/tex]。

2022-10-26

设[tex=1.714x1.214]jsM/Lg33JMLvoOCckk59rQ==[/tex]是线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]中的向量，[tex=1.071x1.286]U4awQ74hGmTHJgQmKU0Jmg==[/tex]是[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的子空间，向量[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]与子空间[tex=1.071x1.286]U4awQ74hGmTHJgQmKU0Jmg==[/tex]生成的子空间记为[tex=0.786x1.286]sgM90Q/VISKeSqiI8AMXRw==[/tex]，向量[tex=0.571x1.214]CyLt5nwVs0oLAbCn8AssqQ==[/tex]与子空间[tex=1.071x1.286]U4awQ74hGmTHJgQmKU0Jmg==[/tex]生成的子空间记为[tex=0.929x1.286]nrJzN9qRndstwtgYfof7gw==[/tex]。证明：如果[tex=1.929x1.214]6AEanCozWf0T3pTNatNASA==[/tex]，但[tex=2.857x1.286]eyYnFseADpS7d7w9tWtMcACaEqY5RUcLKhFvrazV6RM=[/tex]，则[tex=2.714x1.071]0bIJyKcLSZsDO3hqr0GGng==[/tex]。

答案：

证：由题意可知[tex=5.214x1.357]S+BFqiUgkxoCI4geVjRhCA==[/tex]，[tex=5.286x1.357]c0f3ypB0m1hW7rmvya0/8g==[/tex]。由[tex=6.429x1.357]gVUj/qcMJfjCEJ47nvcLAaaSRg+CtNKkdENutpKbA8g=[/tex]可知[tex=3.929x1.214]3F/ihO27Fr6AFmJmT6ExCSnkGfSlLFhhTZ2033aNQvw=[/tex]，其中[tex=2.143x1.214]/E6fwmNGDq3yLR0Clrh/Fw==[/tex]。因为[tex=2.786x1.214]lq0cgemL2pmcB13oQmpKRXJ+hwWLGDtQKAl+f102U2I=[/tex]，所以[tex=2.357x1.286]WR0UFmNJC2h0aHwUhUmqenGCmCI7+0IZYqMpxVBazFk=[/tex]，故[tex=11.214x2.357]V9+MnJXscygaHSoFI8Ih9DO8vLDqJ9lPYCmPjk5MW1l9YlOGxrcvcsvkhUrwAsOI54O4UjWQWXCA7rzgk/1DHg==[/tex]。

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.286]sgM90Q/VISKeSqiI8AMXRw==[/tex] 是线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的一个子空间, 试证: 若 [tex=0.786x1.286]sgM90Q/VISKeSqiI8AMXRw==[/tex] 与[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的维数相等, 则[tex=2.857x1.286]n/7xK9Ka3HB+xDHBJPQ3pw==[/tex].
1
设[tex=5.714x1.214]lZfcRDOHT43TyAqQoLZlW4Lv5aXy2IYDr1d8cyMxju8=[/tex]都是域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]维线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的真子空间，证明：如果域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的特征为0，那么可以找到[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的一个基，使得其中每个向量都不在[tex=5.714x1.214]lZfcRDOHT43TyAqQoLZlW4Lv5aXy2IYDr1d8cyMxju8=[/tex]中。
2
在数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]上的所有关于[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]的多项式构成的线性空间[tex=1.786x1.357]OsT+2WwLJzEQyHN3KIjpRw==[/tex]中，所有满足[tex=5.286x1.357]IpEo4at8FvHN6+GTgeEKZA==[/tex]的多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的集合记为[tex=1.071x1.286]U4awQ74hGmTHJgQmKU0Jmg==[/tex]。所有满足[tex=6.071x1.357]QAKd6JuXD3qmM5BgGo/OSQ==[/tex]的多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的集合记为[tex=0.786x1.286]sgM90Q/VISKeSqiI8AMXRw==[/tex]。证明：[tex=1.071x1.286]U4awQ74hGmTHJgQmKU0Jmg==[/tex]与[tex=0.786x1.286]sgM90Q/VISKeSqiI8AMXRw==[/tex]都是[tex=1.786x1.357]OsT+2WwLJzEQyHN3KIjpRw==[/tex]的子空间，并且[tex=5.071x1.357]tlamONh114ERdbgLHF/usA==[/tex]，[tex=4.929x1.357]5nxtcT518/WIpHqVQ/9pKou/ORliLqwlFRp+bnRXU8A=[/tex]。
3
设[tex=1.0x1.286]v7Qd/mZc6lgtivR18cySVw==[/tex]，[tex=1.0x1.286]iuU7wrETqDhgQ9FnxU+qVg==[/tex]为向量空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的两个线性流形，下列集合是否构成[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的线性流形？（1）[tex=3.071x1.286]RBsT7ls142drw6n7GT5VYUk4909y96HQ7mbYlNLG8EI=[/tex]；（2）[tex=3.071x1.286]MSYoc/r3ykgxXO/vP3oG8LJTaIaeusSGZcrC/a+Dt/0=[/tex]；（3）[tex=16.429x1.286]E1B3wvDNurwzYU95C89NzfTRP44LQNOcYFoxXHeBPRB0MEoGj4bK0q4VZlIRQFcO2K4n+Fy/rHYRrE42TVsRFqJt+6hBiBLPcDfQh6CUY48dEa3mgyb/RLV6g5auTe2t8MG+hSGjfDQz5qDfB5xQaQ==[/tex]。
4
取集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为实数域[tex=0.786x1.0]czmpOvTmaMgRl7StPBE3ig==[/tex]，数域为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]。集合[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法规定为实数的加法，纯量与向量的乘法规定为有理数与实数的乘法，则[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]成为有理数域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上的线性空间。证明：在线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]中，实数1与[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]线性无关的充分必要条件是，[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]为无理数。