证明: 对任一复矩阵[tex=1.071x1.214]69Kx6twOoPKKXFd3Ew+Jjg==[/tex]必存在酉矩阵[tex=1.0x1.214]S1YYklAtMOwJukvyt6XNRA==[/tex] 使[tex=3.214x1.214]W7KMZ9eTc4N4OEAP/sk56g==[/tex] 为上三角形矩阵.

2022-10-30

证明: 对任一复矩阵[tex=1.071x1.214]69Kx6twOoPKKXFd3Ew+Jjg==[/tex]必存在酉矩阵[tex=1.0x1.214]S1YYklAtMOwJukvyt6XNRA==[/tex] 使[tex=3.214x1.214]W7KMZ9eTc4N4OEAP/sk56g==[/tex] 为上三角形矩阵.

答案：

证明: 对[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] 的阶数 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]用归纳法.[tex=1.929x1.0]iy49FZmj3Bn8sRaLZpfrEw==[/tex]时结论显然成立. 现假定结论对阶数小于[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的矩阵成立. 考察[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]. 设[tex=1.0x1.214]Km/qUtFFKwzj+P2mZlKsTQ==[/tex]为[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的任一特征值, [tex=3.5x1.214]w9kL1RtV2/15DCINXHpcYXvMPj6YEcAd6OvTOso8/Ak=[/tex] 为[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的属于特征值 [tex=1.0x1.214]xPJ1hCmvqITeEPzCfT1lOQ==[/tex]的单位特征向量. 将[tex=1.0x1.0]E4FovvvmKFxHayApGHhrvg==[/tex] 扩充为酉空间 [tex=1.286x1.0]//xeyntIxkd7r/xrlCg/NQ==[/tex]的规范正交基 [tex=4.786x1.0]2M7FMeawp1vaAcNmLreSU4J3cqwx3/8/4PJo0GfnmMTeBf8fYmA1GMpG1tDCTb/n[/tex] 令[tex=8.714x1.357]8OPaNtk6wILGI6UerQAyWNDeIPUYPfbQfxOLNBrZZJ+PVrnuvhXJMWLFrLwjbeBm1l+IxQln4gMD/zwqHVvZykgCCw0BwaZERGTpHqPxC18=[/tex],则[tex=1.071x1.214]0QaIR7/R5KLY0DePWHtofQ==[/tex]为酉矩阵, 且[tex=9.286x2.786]BpVAA/C5nRRY+xhRlGyvb19tEnoQTOU9kAmXej8NrVLwePxKGYd8k2/u0FPUHAfV9uKrEAelpVVGYHFzsNB2+BYNmIHonacW4Unvh6+7maoW25q2B72yKvXW2hju6BkF[/tex],则[tex=10.429x2.786]2t9BT5mQEiHal51uzqrDeshyF4n9/LugrcPJJMFvkiPh1xGAyEYQkag2XWixX1qYa7hf9ro5Qb2a5K0H5mT1NKpO42hBevK5RXUxLh2wQ97pm6iOVyyd8rxRvekjkhnv[/tex]由归纳假设, 存在[tex=2.357x1.143]qMmLG3OT6I+UYFeehawKuA==[/tex]阶酉矩阵[tex=1.071x1.214]fKxdGUDQ1ZN71kYkiry2Rw==[/tex], 使[tex=13.0x5.286]Ka/RRMgfhl9CS9NWHJrfw4C8Uh5FnS2sjp6h75iVGQNKLsjRLFc2CSErgQoyNq7N3g5sqrM/9L8OeitcpViJZNuWwT+sFjXbVWfw0RTwkyA/53F4fgHeStRILjvQ2e8M9WwBCuwmXwAjPD36WJgo2Q==[/tex]令[tex=8.143x2.786]1TWlD05ePMEj/Fcf2bKuBj+j43B8Zznn21prvFS97KyCTirCFeQZ7RYF7Ho6JaujRpPL9Iig8c4xnfSzDielg8kqVtiMx5+ERtJ3rn0Kotw=[/tex]则[tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex]为酉矩阵, 且[tex=14.143x6.5]beLeiCb3Zo8sFxgf6bofddy5KYiHJFryRkciW5z++SpewqAOyaS+NDcamh6c6ISYCT4n46aCJLywXYoE2L6ZcVxt4RhJhmGMW025Tv1/z/nW2hHZh06hbFF5llnD297t3r2hEHrkO6rBtMYP3DYbMSddLRqJpNMii88D7pmUqqo=[/tex]

举一反三

内容

0
证明：对任一[tex=2.429x1.071]jLyhB8GAUqIuDKvKM/p5zw==[/tex]复系数矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] ，存在可逆矩阵[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]，使[tex=3.0x1.214]rN84CqmtCk5MRAP5g+8tJQ==[/tex]是上三角矩阵．
1
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为正定矩阵, 证明: 存在正定矩阵[tex=1.071x1.214]PSp40OyE3Da+bb1v5cWzIg==[/tex]使[tex=2.857x1.214]74UNGHg1nBhpE4JGqojBrA==[/tex]
2
主对角线上全是１的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵．证明：如果对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的顺序主子式全不为零，那么一定有一个特殊上三角矩阵[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]使[tex=2.286x1.143]vB636PfIaAtueeIhKgyEvg==[/tex] 成对角形；
3
主对角线上全是 1 的上三角形矩阵称为幂玄上三角形矩阵. 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个对称矩阵, [tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]为幂玄上三角形矩阵,即有: [tex=2.571x1.214]s10h1LAywFFP0ACUWpQegw==[/tex]与[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的对立顺序主子式有相同的值，证明：如果对称矩阵的顺序主子式全不为零, 则存在一幂玄上三角形矩阵[tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex], 使 [tex=2.571x1.214]K1hOHaJFllTcd/edNyuKTw==[/tex] 为对角形.
4
证明：任一[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级复矩阵一定相似于一个上三角矩阵。