设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为[tex=3.857x1.357]7yjEVpVC7tVINCzkFztTGVbuXZ3jOK3XAi9UtkSNhqs=[/tex]阶无环图，证明：[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是二部图当且仅当它是[tex=1.286x1.143]BqWWrIAXV20ROwXkNnp+KQ==[/tex]可着色的。

2022-06-04

设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为[tex=3.857x1.357]7yjEVpVC7tVINCzkFztTGVbuXZ3jOK3XAi9UtkSNhqs=[/tex]阶无环图，证明：[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是二部图当且仅当它是[tex=1.286x1.143]BqWWrIAXV20ROwXkNnp+KQ==[/tex]可着色的。

答案：

解：设[tex=7.143x1.214]h20eAWbQrta/ABU0cRM/lnpPVuOOEGmLrWZ+Gnx8zVo=[/tex]为二部图，令[tex=8.357x2.929]FaDe4RO63kWTAOAUp8N/DVscslaUIK3e5tROEX74OUpvspQLLHi/Yrj48s8uEuysU2ktLSPAzpgPx1wosBnUYL8o2TP8kgvTLR+P4UTNrOJBOXm8JKvrJD1uR+SI8N54[/tex]则[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个[tex=1.286x1.143]BqWWrIAXV20ROwXkNnp+KQ==[/tex]着色，从而[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是[tex=1.286x1.143]BqWWrIAXV20ROwXkNnp+KQ==[/tex]可着色的。反之，设[tex=5.786x1.214]lIIg/4MjhtuQZfdUKaWnYA==[/tex]是[tex=1.286x1.143]BqWWrIAXV20ROwXkNnp+KQ==[/tex]可着色的，[tex=5.214x1.357]wdHwRVgwC7JparTaLH/Q2tM+BIMRLsLNyeP8TkpE5r8=[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个着色。不妨设存在[tex=0.857x1.0]H4Kf9rHTBSFrzdtxc2YGZA==[/tex]和[tex=0.857x1.0]Gulw75DLpb9Jxz3bC3CYZw==[/tex]使得[tex=3.714x1.357]IoOjyB5rvf2YWxIUIN1gVKoqsubSEFWhBm/NOc89230=[/tex]，[tex=3.714x1.357]t9enYTrafIksK3qS58opwhmKNfrsfB77v6Ii5uE9ZyM=[/tex](假如不然，比如对所有的顶点[tex=0.5x0.786]WThQ8iw4nU0wcEP44SeqUw==[/tex]，[tex=3.071x1.357]eQWQivcnIc4XjY8wM/Zl3g==[/tex]。此时[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为零图。可以任取一个顶点[tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex]，重新令[tex=3.143x1.357]o/fLhV5jsVIvMKCA5SvtTA==[/tex]。[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]仍是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的[tex=1.286x1.143]BqWWrIAXV20ROwXkNnp+KQ==[/tex]着色。由于[tex=1.929x1.143]Z8A/nlCICwjyBsX7aR53kQ==[/tex]，仍有顶点[tex=0.5x0.786]WThQ8iw4nU0wcEP44SeqUw==[/tex]使得[tex=3.071x1.357]jbFNulMrj6LkLR/a3Y72hw==[/tex])。令[tex=11.857x1.357]meG7xBSj2oYSeoXQKSmZx/1VBmr827WP3/XVKPKhz1/lL5MsYlWvQZlCb5GpQBWo[/tex]显然，[tex=9.214x1.214]UEf3F66PoXD9r87ppfN0LWvHkC3i2aKjw/DDUhFbujDxUEddgSMDmt0shIfbvy5rdUOON9UDPlPUPUtxxr64Mw==[/tex]，[tex=6.429x1.214]vZ1nwVtLmoofVin91Zq/3YtoMIPv94P2Uh+wry3YjC/Log+S+XjZg+EwqcB1k5LO[/tex]，且[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中每一条边都是再个端点在[tex=1.0x1.214]hhEyiXsmUqGVtlGvWeNOYA==[/tex]中，另个端点在[tex=1.0x1.214]++ZnQ9Yy0yDRqmUwKWQxMg==[/tex]中，即[tex=1.0x1.214]hhEyiXsmUqGVtlGvWeNOYA==[/tex]，[tex=1.0x1.214]++ZnQ9Yy0yDRqmUwKWQxMg==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的互补顶点子集，[tex=7.143x1.214]h20eAWbQrta/ABU0cRM/lnpPVuOOEGmLrWZ+Gnx8zVo=[/tex]是二部图。

举一反三

内容

0
若无向图 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为欧拉图,证明: [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中无桥.
1
已知[tex=3.857x1.357]7yjEVpVC7tVINCzkFztTGVbuXZ3jOK3XAi9UtkSNhqs=[/tex] 阶无向图 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中无孤立点,匹配数(即边独立数 ) [tex=2.214x1.214]AtOLElpW+TGEi+V0agOfgA==[/tex]. 试求边覆盖数[tex=1.0x1.0]E4FovvvmKFxHayApGHhrvg==[/tex], 并给出一个这样的连通简单无向图[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] .
2
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群，试证[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是幂零群当且仅当[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为其[tex=2.571x1.214]RsM5CifpF+POhNWiEVvU42nb/ga3aKf8w307AuBCqQ0=[/tex]子群的直积。
3
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个群，试证：当且仅当[tex=4.571x1.357]Cfp84m7VnW4dk+f1tg/L9w==[/tex]时，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]上的伴随作用有效。
4
证明可解群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有合成序列当且仅当[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群。