设[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]是数域[tex=0.786x1.0]6J6pLBwELDvuZYB9vl6pdg==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维线性空间，试证由[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的线性变换 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex]定义 的[tex=1.929x1.357]xClnPNT7zk8OaSk/zpHTYxiIT1me/7zaHPDUbtpBhUM=[/tex]模[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]为循环模的充分必要条件是[tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex]的极小多项式的次数为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]。
举一反三
- 设 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维 Euclid 空间 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的线性变换. 则有 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的部分正交变换, 半正定对称变换 [tex=1.714x1.214]CAZ/CktyB9gpB7kpw+Fp6Pd1GPtITBCGAotVpgm+e/o=[/tex] 使得 [tex=8.786x1.214]93/fiUVyu9uE1N0pLYBh9bXHUzxpP9KzFPYS3oCguacVYRNJIJpOfZMKxDnUgDXPtuna8/k2ZvQdB4CIdMIzEv1kVzQdtRJCOnLI7QiXMet8YeuHvGD15Oo/eRaZaVcDjDlTgB2YFWmp6vYsNU6uXw==[/tex] 且 [tex=1.714x1.214]CAZ/CktyB9gpB7kpw+Fp6Pd1GPtITBCGAotVpgm+e/o=[/tex] 由 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 唯一决定.
- 设 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 是复数域 [tex=0.857x1.0]dcHR/AMhWBg4tOPVkI9qFw==[/tex] 上 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维线性空间. [tex=4.5x1.071]d9y+KLOQpwgiIZSOmy+NwuKjcx8pDZqu3h/Q7GEiRUVEk5FoxmZhXvfBDD3PlnDQ[/tex] 试寻求 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 的初等因子与不变因子之间的关系，由此证明 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 的不变因子是唯一的.
- 证明 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维 Euclid 空间 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的两个对称变换 [tex=1.786x1.214]FmXqMeQCgG8GJUCsyvSzl7jXup8fvJYeTZKF5GfJ6xM=[/tex] 的积 [tex=1.5x1.0]cjQ5gP7XQGt+3SlrvJ8xBQ==[/tex] 为对称变换的充分必要条件是 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 与 [tex=0.714x1.0]UF6bSrGL+IxoE78FFIRkgA==[/tex] 交换.
- 设 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 是数域 [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 上线性空间 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的线性变换，[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 是 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 的不变子空间，[tex=0.857x1.214]ZdxcNk2+dFksDrQrx/cz4MSy3OELSu1cby4a6Qz3q84=[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 在 [tex=2.071x1.357]pgEl/yn5MrHj4Hl4xVXERQ==[/tex] 上诱导的线性变换. 若 [tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex] 只有有限个 [tex=0.857x1.0]JGak6BG8IqnzqFUlidM8wQ==[/tex] 的不变子空间，则 [tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex] 只有有限个 [tex=1.786x1.357]GQmdrPYXs/Yvv1PiTQW1W5m0yAqpTVCUMzMk1LQlQNo=[/tex] 的不变子空间，[tex=2.071x1.357]pgEl/yn5MrHj4Hl4xVXERQ==[/tex] 只有有限个 [tex=0.857x1.214]ZdxcNk2+dFksDrQrx/cz4MSy3OELSu1cby4a6Qz3q84=[/tex] 的不变子空间.
- 设[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维实线性空间，如果保留[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]的向量加法，但在纯量[tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]乘以向量时，限定纯量[tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex]只取有理数，如此得到的有理域[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上的线性空间记为[tex=0.857x1.286]sos4fU8pEpLIyOuQ2cEmLI7ajGwKeRm0wVzPEibgiW0=[/tex]。线性空间[tex=0.857x1.286]sos4fU8pEpLIyOuQ2cEmLI7ajGwKeRm0wVzPEibgiW0=[/tex]是否是有限维的？