应用确界定理证明闭区间连续函数的零点定理。若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，且[tex=5.429x1.286]X7mu1bQAI43TOgCZSV94BZX8fXDFGukLQCTlsfQQ+aY=[/tex]，则在[tex=2.643x1.286]PGm4xHJaiwTHdGYen/RN9Q==[/tex] 内至少存在点[tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]，使[tex=3.571x1.286]pxO3RAw3vxt+S/M/HxOVvQ==[/tex]。

2022-06-04

应用确界定理证明闭区间连续函数的零点定理。若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在闭区间[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，且[tex=5.429x1.286]X7mu1bQAI43TOgCZSV94BZX8fXDFGukLQCTlsfQQ+aY=[/tex]，则在[tex=2.643x1.286]PGm4xHJaiwTHdGYen/RN9Q==[/tex] 内至少存在点[tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]，使[tex=3.571x1.286]pxO3RAw3vxt+S/M/HxOVvQ==[/tex]。

答案：

证明  不妨设[tex=3.643x1.286]3R8k4nH2uFuk/khMy85zQg==[/tex] 与[tex=3.571x1.286]x2ygPT1L5hI6Esw08D72Uw==[/tex]， 考虑数集[tex=13.143x1.286]keuoR7Xupbh56W3NM2KBvaXgWWqN0x9U7c4peAoKcC4j3v1iq4T0k+Rp9xEExj1J[/tex][tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex] 是非空[tex=3.143x1.286]5S/LhHiSlgEQ8XsmheEZNA==[/tex]有上界 ([tex=0.5x1.286]PGyKeLDo0qv9T0n29ldi6w==[/tex] 是上界)的数集，根据确界定理，数集[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]有上确界，设[tex=21.786x1.286]yLx2UZoLTL+Lgh/Fb3JKBTxQU/xKrVRAVKN7ARZC/QI3gQRrjg6pGjxB6Rt3lbFKWO0lhHAMMw9PgcLev9bqIMxzjyFb6INt8kEvFJoxLSY=[/tex]。下面证明[tex=3.571x1.286]pxO3RAw3vxt+S/M/HxOVvQ==[/tex]， 用反证法，假设[tex=3.571x1.286]iCWGIfTxBBLUrppq/PUkik+BokbNlnMVTJvbiGLovlg=[/tex] 。 根据连续函数的保号性， 若[tex=3.571x1.286]06E+igA4q/FGQuhqWRMFHw==[/tex]， 则[tex=3.214x1.286]Ak5V7FpbQo0sWJG4fyE1vCQOx5nFpt057JvkVyPZ8WQ=[/tex]，[tex=6.857x1.286]SH7A+cYsCDe1vTv5oHaL0IXqwidgzTOxbG2IDrlIbf2TFSczr6mFD5A59BqBkt5btEugEp/i0rCqW5nx0rfvlw==[/tex]， 有[tex=3.714x1.286]FOh2uNZfgGlH8S+OVIqrUA==[/tex]， 与[tex=4.143x1.286]eUgmbGb73fCltTB5vcZOcA==[/tex]矛盾；若 [tex=3.571x1.286]O24dBbeIgNkuWvaj3mrGew==[/tex]， 则 [tex=3.214x1.286]Ak5V7FpbQo0sWJG4fyE1vOCdocY4DPTQUFaE7Rr0Ua8=[/tex]， [tex=6.857x1.286]SH7A+cYsCDe1vTv5oHaL0DTK8PaugZVlzD3exv5X1J6eGDx0qQwlLdYQ8/8K95rfi9XQQ8a7nzwyrMgqPDFnkg==[/tex]， 有[tex=3.714x1.286]ICZhqym3xeRlQjAWdrP3ew==[/tex]， 从而[tex=8.5x1.286]Qd7bRwU2j8y1GEWkedJ/QFN2H3yUmo/q0+TnpuTbogOvmUHXZ4K1E+OiJrIr+H6JAM4/lbx0TFlvblAgctc4Jw==[/tex]， 与[tex=4.143x1.286]eUgmbGb73fCltTB5vcZOcA==[/tex]也矛盾。于是，在[tex=2.643x1.286]PGm4xHJaiwTHdGYen/RN9Q==[/tex]内至少存在一点 [tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]， 使 [tex=3.571x1.286]pxO3RAw3vxt+S/M/HxOVvQ==[/tex] 。

举一反三

内容

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证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]可积，[tex=4.714x1.286]Z8aG89xW2CqlsynXFeJHokpsWeKF/J7TY8AfbMD4wWw=[/tex]函数[tex=8.0x2.286]EMf8WcZFyeEJ0WxhFUiQqRhsPFPiDVyC78SdxdvnJFIgKuCsZpdbpqgwMzQgMO3V[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上连续。
1
证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]连续，且[tex=6.714x2.5]8QU3aWoJhSGnV7gONGqJzYsKbxS+lPuYoFwuI9XhYxAiEUcIxK0tGWtktnw0xLsS[/tex]，则 [tex=3.714x1.286]bdk1O+10iPWAR25LzAABM4M0oPDrf7rHpG+DMmWfuvM=[/tex] 。
2
应用一致连续定义证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]与[tex=2.286x1.286]VF4kZrJI2Vr32V8e+QjbaQ==[/tex]一致连续，则函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]一致连续。
3
证明：函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在开区间[tex=2.643x1.286]PGm4xHJaiwTHdGYen/RN9Q==[/tex] 一致连续 [tex=1.0x1.286]rOrw2E3Z1BdSSAw41TowZ4iHlO4qaDBsGJ7nVzEmCWM=[/tex]函数 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在开区间[tex=2.643x1.286]PGm4xHJaiwTHdGYen/RN9Q==[/tex]连续，且[tex=3.5x1.286]jf4KYTqBi/2JKJP0u55qBg==[/tex]与 [tex=3.429x1.286]PdwADi/W7zeYvYZrdNxghQ==[/tex] 都存在(提示：证明必要性要用到柯西收敛准则)。
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若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上可积，[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]与[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上只有有限个点处不相等。证明: [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在[tex=2.429x1.286]AbdDkC0j55gBB/J+s1yOpw==[/tex]上可积，且[tex=9.929x2.5]14xDmLJt4isLwqieEHGEwMATzfZioF6Ob4kHyWKRwI02Boav6J2K5sD+vOo0ypJSc9qJazfEIftbkNdMx1C4Sw==[/tex]。