设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续,在[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]上可微, 又有[tex=7.071x1.429]3HzpEI2F6SjlbUxfYjVYgJgfT1+SwcjAgoUdSxH+nHM=[/tex], 证明：存在[tex=3.143x1.357]3v9HBq0lFtIDOP11f7lbPg==[/tex], 满足[tex=7.571x2.5]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRyhi7yg/mLi9vPEm3LrHmsy7z5WJBKchnI5ClA5RRRiTO[/tex]

2022-06-17

设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续,在[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]上可微, 又有[tex=7.071x1.429]3HzpEI2F6SjlbUxfYjVYgJgfT1+SwcjAgoUdSxH+nHM=[/tex], 证明：存在[tex=3.143x1.357]3v9HBq0lFtIDOP11f7lbPg==[/tex], 满足[tex=7.571x2.5]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRyhi7yg/mLi9vPEm3LrHmsy7z5WJBKchnI5ClA5RRRiTO[/tex]

答案：

证明: 令[tex=9.5x1.5]as5JQabeq960VAVOcagJvs1WYFEg/GcWSDa7nT93NjbV4nx21tdOvLAS5vyDRX6l[/tex], 则[tex=13.929x2.786]6z/Qwow1qdSo1iWsCt21RMpXS0reaTz6+rN/IvNRopmyTrchyF/fAEqd/2oz+vOjDrk7UCZ+DVu/HCtDm07fn7j83Hb9UZDJs9pBJViqwJCvJAUngTzxoNLyqO9bOfku[/tex].假设[tex=3.5x1.429]Ll1Seq9e7QZCzQNWBBJ6SX6JF/PliWvAr7t0aB4FFt8=[/tex]在[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]上没有零点, 由[tex=3.929x1.0]tzNb+0ODepIQwHC4NEFWYA==[/tex]定理[tex=4.0x1.429]H/1o7iR4ERBdSzp61mLLpL2I436ybcXehhJq+TQv+a0=[/tex]或者[tex=4.571x1.429]sULwc7t18PGy4LPtETOIUMBdOfqyol41TYARhjDYW0I=[/tex]在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]上恒成立不妨设[tex=4.0x1.429]H/1o7iR4ERBdSzp61mLLpL2I436ybcXehhJq+TQv+a0=[/tex]在[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]上恒成立.因为[tex=3.571x1.357]X5TsCvGZStLhTF6Xvfchaw==[/tex]所以[tex=15.357x2.786]TBWEq3TIFaCHbbKTwBomaZvDx92Dz7MvS8CAfeNRPF/5g/6BZkkn5AhO7BJVqyndUopuX1slC8Mr+FAX/uR/4snUNZsmjTsq/tXOL1dOwuA/RYAEzMzTzxcExDGFk87H[/tex]即[tex=9.357x2.5]slUWfyI74CZ7Ns0eDWQjHoA3RNBruEE8TJOwqdddiIIzkbQ9wz4I8vojMpgqrFGA[/tex]因为[tex=3.357x1.429]ZXO8FeoLdFXkjWfjMH9c/Ndtgfr15ooyF2YViuC9UDg=[/tex], 所以[tex=7.357x2.5]R+DKH8Ghn6rL5DA8xA300ul5plhnLA7kLuylZgztLSM=[/tex]所以[tex=6.143x1.357]uZm9b3B0QY9RHhDQjNq5V3yTq7hlTNnt8emA4vuEJmw=[/tex]另一方面[tex=3.214x1.357]2cRDckrvdi7Kl6sTYbKvAQ==[/tex], 而 [tex=4.0x1.429]H/1o7iR4ERBdSzp61mLLpL2I436ybcXehhJq+TQv+a0=[/tex]在[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]上恒成立, 所以[tex=13.571x1.5]R5F6nmuXITQazHBCS0BtZpQc3ed1qNPxPuULQ6hgvfnsh+gAuTp90MhMjx4RBR/E[/tex]所以有[tex=4.857x1.357]0tFu1es3H6qI+4/WiRXCTQ==[/tex], 这与 (1) 式矛盾. 所以假设不成立，即 [tex=3.714x1.357]qjEtD3vzPIRqrUhUutXCuT9MgYHbdd+dMEpN38Udk4k=[/tex], s [tex=3.5x1.429]Ll1Seq9e7QZCzQNWBBJ6SX6JF/PliWvAr7t0aB4FFt8=[/tex], 即[tex=7.571x2.5]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRyhi7yg/mLi9vPEm3LrHmsy7z5WJBKchnI5ClA5RRRiTO[/tex]注释：把结果写成关于[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的方程:[tex=7.786x2.5]U93ae75fuTDIyESpUsh0Zsj+Zhb1DM13mwbAvfrozvjuACjdDEdlnz2/tVDbjhOx[/tex]生考虑齐次的方程:[tex=6.643x2.5]U93ae75fuTDIyESpUsh0Zso8/BMKCgcTd7A6uJtVE1DEPScZIc91UsEl0k+81u6o[/tex]其实,解方程就知道 (或者方程直接乘以 [tex=1.571x1.214]UFWVxtHJjDAGRsM+kvJLEm0iowwM9m+U1h2NpPK5at0=[/tex]:）[tex=6.714x1.714]VJBuBJ5zTEkiAJd6URyrthOuoe6sOS0kVlUG2nsoyzDhZcIPPryo0OUj5uFctp/vTjdUxHCo73tGmb2tm2K8dQ==[/tex]现在,回到一升始的方程, 我们就发现[tex=16.857x2.5]VJBuBJ5zTEkiAJd6URyrthOuoe6sOS0kVlUG2nsoyzDhZcIPPryo0OUj5uFctp/vykUhpt5r5VTVip2gtb/Db/kQKcwma7F6Ru5MrBS/1cxE9WseATZBPnW3Br82hKWgkRZ69VWKOV6BpQfzTNfAAbRkvS6ci7qpbX1FysXvwJ/qyY50G3VIbyLTJ7OzkAlHGqIeqY6r/lH3N7Pt/ZH9bQ==[/tex]于是[tex=10.071x1.714]Q9Gi4h7WmIApPQ77MympCiSZSubfZ7p7EBa888WsWP2zHpV5ufVENR0YpLyyDprThZqHqg4M1KVggC/he4zU2NG/z9lBPAkhJmSNWGv3ws4=[/tex]所以, 问题的结论是要我们证明存在一个?满足以上方程 巴(把导数展开之后)

举一反三

内容

0
设函数 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex], [tex=1.857x1.357]4AsehPcyFJurfSXX5VJeww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 上可导,证明在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内存在一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex],使得[tex=16.357x3.357]TIwZYBkNsy31H1RNd/OloGwhon3PLsTPvn7sytr2L+uLAHYERxi/0oHfksb4/AEzUgrm650IFrAwf4M3g2sMJgsRqRDrTXfO4PHg8T3E2jPHC+RcbJxEN0TuCnJeiaqk2cHQo6UwUWDTn7J/KmXyM56rCnendRJ6vUsfe2Y42fscaUvJ9DCQ2587S0fTjnY2+mH0vn4eFSSTETk+Hq43FaCAor4+rQVp1oDl3CKXrMY=[/tex]
1
设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上二阶可微,[tex=6.714x1.357]mMYUeNAe38X+/GvdLKmvRw==[/tex], 且在某点[tex=3.286x1.357]9Z7NK3I/8jxvEl6tyFQjrQ==[/tex] 处有[tex=3.571x1.357]Ae0+MLPjHrEQQfkynMVIuA==[/tex], 证明：存在[tex=3.143x1.357]3v9HBq0lFtIDOP11f7lbPg==[/tex], 使[tex=4.071x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq7wltG07xCqIKrtM09veM4k=[/tex]
2
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]iavJqAznijPyoXL3RTXYGA==[/tex] 上连续，在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内可导，且[tex=6.5x1.357]Mukkc8xd+PvmDxQ88fKN+cjKaImR0XLrAShzE0fNRAY=[/tex], 证明: 至少存在一点 [tex=3.143x1.357]3v9HBq0lFtIDOP11f7lbPg==[/tex], 使得[tex=6.071x1.429]gPSG9MmNGCF8Klft0Pu7N4ARaQoJtA3w862UhOth6Co=[/tex].
3
证明：若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，且对任何[tex=3.071x1.357]oMv3xI7iNPSl5df0WXB8hw==[/tex]，[tex=3.714x1.286]VgLe0qw4dAI5uBnknp9bCOFzwtDsITrGVQ9OZlj0zNo=[/tex]则[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上恒正或恒负。
4
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内可导，证明：在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.214]qqpHxP43oSTaBTohjVBA4g==[/tex]，使[tex=11.429x2.5]WOqEVrpuCOha2ZBQjNNPrAVxQjjfA1h4tb1zjguDu2gGIMJX1FDyEvF1edf6o7UBVNxanJs2u11gkxisMYf5sA==[/tex].