设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex]上连续，在[tex=2.214x1.357]+smIHLjIglC7odyb4QS5dg==[/tex]内可导[tex=4.929x1.357]LuYDc3E7YZGU2/E8vIjRbQ==[/tex]，试证：[tex=4.429x1.357]DxQBqA2GV2qlziqzkemrAzt5evJgQgpNij/MSu+OZWw=[/tex]，使[tex=11.143x2.786]mJGZLltubfoZcOSXXFAdQfTq8McSqLYuilyobyhfyzBmKBGC+xnGXS6faamhZHtB1W743y7w8YFJIUQkpkEk9A==[/tex]。

2022-06-17

设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex]上连续，在[tex=2.214x1.357]+smIHLjIglC7odyb4QS5dg==[/tex]内可导[tex=4.929x1.357]LuYDc3E7YZGU2/E8vIjRbQ==[/tex]，试证：[tex=4.429x1.357]DxQBqA2GV2qlziqzkemrAzt5evJgQgpNij/MSu+OZWw=[/tex]，使[tex=11.143x2.786]mJGZLltubfoZcOSXXFAdQfTq8McSqLYuilyobyhfyzBmKBGC+xnGXS6faamhZHtB1W743y7w8YFJIUQkpkEk9A==[/tex]。

答案：

【解题思路】将结论的形式变形，得[tex=15.071x2.5]KoVPuIqX0RbdKf7c7KLNL4AgFoCtgyabfmR5uwepqm2yHJFs/9Mush5Jh0VzLQxouFJY/HX0erdsdclv+c3KdpCr5NycS+WfirtVOT18dSxlBC51P6ePm/y1vRqMwuWW[/tex]，则有[tex=10.214x1.357]BxZfSC+CljetpY3Q3/4zciGl/pzX3RhXCg3UdRjbx1s=[/tex](对称式)，故令[tex=17.357x2.5]gf6wCqHtl0ey1RA9xp7015AQyiZ9Riz9pegO917o/bBTzDSrA0Bp8zIAR6Su6qZhfSfDmENCsbRrekVDvMMvCa32CB/o0xgwh+EGd6Ze++g=[/tex]。证明：如上构造辅助函数[tex=4.286x1.357]ChxMdd3FVcCsq2fkPPOu7g==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上满足罗尔定理条件，则[tex=3.714x1.357]qjEtD3vzPIRqrUhUutXCuf2sados6DXPxXkhgwu1y4A=[/tex]，使得[tex=26.0x2.786]xCCpDEeSVerSHsWtB5kRLkIzWaeD8+BSdYmPOLpTRhHH+TZTvlor58xFh9mvX+p5GcN7TYdxZLO6b2pX+zU6proVQkx4iJRHJVDK1GVdHTKlUm7fg1F0x6qFimD3HedzfJexH0hTChFjEZZu2tpOL+3p25HReWkJCOf9j5nuzMEZyvi0j3PCVOWC/82GJjoLJZVWQjKO5sc0KeXd5NYgng==[/tex]，命题得证。注：本题也可利用柯西中值定理证明，令[tex=4.357x1.357]9YDyMxObQ5v90JMtAuiwmw==[/tex]即可。

举一反三

内容

0
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内可导，证明：在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.214]qqpHxP43oSTaBTohjVBA4g==[/tex]，使[tex=11.429x2.5]WOqEVrpuCOha2ZBQjNNPrAVxQjjfA1h4tb1zjguDu2gGIMJX1FDyEvF1edf6o7UBVNxanJs2u11gkxisMYf5sA==[/tex].
1
设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex], [tex=5.786x1.357]iDp1aRpvGaqTSE5RFRcFm99ZNo0qOxHbWJh70NG7SgY=[/tex], 在 [tex=2.214x1.357]64K7dNQOvQBam/0oBbondA==[/tex] 内可微, 对于 [tex=4.0x1.357]0rAy5L5wcP98GBBwLzpG/Q==[/tex], [tex=3.857x1.286]qn2AJfbmoLEE7Tl4Pd7PllGjDjTXiWMPwR865hJoScY=[/tex], 试证 [tex=4.429x1.357]DxQBqA2GV2qlziqzkemrAzt5evJgQgpNij/MSu+OZWw=[/tex], 使 [tex=7.929x2.714]C0/wVWhDD1ICmf6UtMJKNLJD573/HoWfk29oEOkraG0QjnvvRDRm/FcZsxMgX+vshJOZIOA8pap3WlRDxuw09ngErukr5SY8r6kFQlAqEwg=[/tex].
2
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内可导，且[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]上单调增加，则曲线[tex=3.143x1.357]5GsAo+Z/osV3R3OuJpjhLA==[/tex]在[tex=2.214x1.357]+smIHLjIglC7odyb4QS5dg==[/tex]内为[input=type:blank,size:4][/input]弧.
3
6个顶点11条边的所有非同构的连通的简单非平面图有[tex=2.143x2.429]iP+B62/T05A6ZTM0eeaWiQ==[/tex]个，其中有[tex=2.143x2.429]ndZSw3zT0QTOVLVdoUto1Q==[/tex]个含子图[tex=1.786x1.286]J+vVZa2YaMpc6mJBbqVvWw==[/tex]，有[tex=2.143x2.429]lmhx48evnQMhi03NovPXig==[/tex]个含与[tex=1.214x1.214]kFXZ1uR8GjycbJx+Ts2kyQ==[/tex]同胚的子图。供选择的答案[tex=3.071x1.214]3KinXFh3SXhZ7nIe1y9KEV6aadxhhJWeEy6Dij1iObdMUZkY6ZA5J2dVVjPSuhEf[/tex]：(1) 1 ;(2) 2 ;(3) 3 ; (4) 4 ;(5) 5 ;(6) 6 ; (7) 7 ; (8) 8 。
4
设 [tex=6.357x1.357]959gWihoMLuBdwElNIRbDw==[/tex]和[tex=1.857x1.357]8OhkgnLHwzi6YjANjwJhWQ==[/tex] 都在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续,在 [tex=2.214x1.357]+smIHLjIglC7odyb4QS5dg==[/tex] 内二阶可导,且 [tex=13.571x1.357]RZprWLee8+spZGDTYQkqG1tSn94vaGL4iH0iuQPoXGgKNbPB8dRpSmRE5+g7AJYE[/tex], 则在[tex=2.214x1.357]+smIHLjIglC7odyb4QS5dg==[/tex]内至少有一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex], 使 [tex=5.214x1.429]/FYTUVhgTPYa3RqQR+bSSeMsOi200lWn3R85m+BiCJLbLDdGA2bX+CvcTuP/FeSw[/tex] .