设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是一个素数, [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的方幂阶的群. 试证[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的非正规子群的个数一定是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的倍数.

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2022-06-18

设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是一个素数, [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的方幂阶的群. 试证[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的非正规子群的个数一定是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的倍数.

答案：

令[tex=9.5x1.286]ReOY9LO3MLjE00MLcieCgT7Ep2Vp27jH7X8clXxgYKxESCCcYv6W9VRZoCm+3Z1j[/tex], 考虑[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]在[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]上的共轭作用. 由轨道公式知[tex=6.643x2.643]VAMHy6yyyI/Xoz5WgAJQ+LE5LXmNPJp3S1p2sYXuyXUlRLJNU4mhHbmSk6ETGvI4cxNIHSEonbGKUQ1OacG3zQ==[/tex], 其中[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的一组轨道代表元, [tex=1.429x1.214]Wn952NftFfGI1Y0u/kkK2A==[/tex]是[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]的固定子群, 也就是[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中的正规化子. 因[tex=3.214x1.357]A4nG7KiqOpCzE4MVetr+nALDyKwjoqJx2JsIrfrLJCo=[/tex]是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的方幂, 且[tex=3.571x1.286]/KHzG8ozYOZyiDDpnXlIwfAfa7aeD4CEAqXBOov2BpQ=[/tex](否则[tex=2.571x1.0]0O7Ji+oIxOv0pmXMQ9b+UvE7rNZSBcqt7CH3fCsGlZA=[/tex], 与[tex=2.143x1.071]lL08imuUrTbh361HZADaSw==[/tex]不合), 故[tex=2.571x1.357]iRpAyS4ctqFsTQvKiXnohQ==[/tex].

举一反三

内容

0
如果有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的每个极大子群都是单群且都在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中正规, 则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只能是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶群, 或[tex=0.929x1.429]Oe1sITdLfgoJMrP2LLsThA==[/tex]阶群, 或[tex=1.0x1.0]I5Z2flVFjMnDwqtQo3l5FQ==[/tex]阶循环群, [tex=1.429x1.0]oXDZBpqHCK0AEtZ4kgbZLQ==[/tex]是不同的素数.
1
设[tex=5.714x1.5]wDrwSTxg662Lz5e4e/iXLMOsEz5nZiDF+Z3t4edFiXA=[/tex]是不同的素数. 若群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]没有[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶自同构, 则[tex=3.714x1.286]HonlIKcOo3//2XaJkFRQww==[/tex].
2
证明: [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的非正规子群的个数一定是 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 的倍数.
3
试证:群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的指数为2的子群[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]一定是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群.
4
设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是一个素数, [tex=3.429x1.357]bT6uyKe7pSB2Fc98d77Dm/O56OzH3v5lq3+iSDeeikjI6BuU+hZsY6Lb1uxFP7B2[/tex]有多少个[tex=0.929x1.429]Oe1sITdLfgoJMrP2LLsThA==[/tex]阶子群?