设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是一个素数,[tex=17.143x1.786]KwsgJFedmeHBiT2ur32zoG99C34xNnYO0RQwum8f8weiaBfrj+HiIJS3LUmCgH5PIUKNDYKzp26hB+HL8rmRU4QnNRBdqTIFwOEPciNMjT0=[/tex],则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]对于复数的乘法作成群.试证[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的任意真子群都是有限阶的循环群.

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2022-06-19

设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是一个素数,[tex=17.143x1.786]KwsgJFedmeHBiT2ur32zoG99C34xNnYO0RQwum8f8weiaBfrj+HiIJS3LUmCgH5PIUKNDYKzp26hB+HL8rmRU4QnNRBdqTIFwOEPciNMjT0=[/tex],则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]对于复数的乘法作成群.试证[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的任意真子群都是有限阶的循环群.

答案：

设[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的真子群,故存在[tex=5.5x1.286]dAhbzNhLSdRZOPCjad8tEyvaoxhSm0i5xA5c3USsZH8=[/tex].设[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]的阶为[tex=1.0x1.214]hhTGci783MoE2K6ive5kxg==[/tex],则[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]中任一元的阶为[tex=4.429x1.214]h49NYdx/9LrlyF4qjLpF1g==[/tex].否则,[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]中有元[tex=0.643x1.0]8+M7OwdUGZPUoOQAaQHP2A==[/tex]的阶为[tex=4.429x1.214]uI+sygx+rljY74xj1MtsGVKUYBkC9KjzEK/lGCgI/j4=[/tex],则[tex=0.643x1.0]8+M7OwdUGZPUoOQAaQHP2A==[/tex]是[tex=4.0x1.357]tDEBW7xrWd6kTFsU3PO1CQ==[/tex]的解集作成的[tex=1.214x1.214]CFhVYLFsCsDPxXTeN+psOw==[/tex]阶循环群[tex=0.714x1.0]ravtxd2oof9d0U26ZFAIhw==[/tex]的生成元.因为[tex=2.857x1.071]E1P4Apmmc+pK35Vxe/mDiA==[/tex]故[tex=4.0x1.214]2Zfgrvl0iy2jyp4beIOPYsI6w7KTizckvJ2upnib3Fk=[/tex],矛盾!设[tex=0.643x1.0]8+M7OwdUGZPUoOQAaQHP2A==[/tex]是[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]中阶最大的元,则[tex=3.0x1.357]GPq010BWqPScPjEpmJmFMb7xfxlXTjZe+Fd+LQc/3AM=[/tex].

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是[tex=0.929x1.429]tzkcQFehVaJPayz3X1T40Q==[/tex]阶非交换群, [tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数. 则[tex=4.786x1.571]uT6y9vGnwVUw67clgBdKmg==[/tex].
1
证明:若群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只有有限多个子群,则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是有限群.
2
试证有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的一个真子群的全部共轭子群之并不能覆盖整个群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex].结论对无限群是否成立?
3
设[tex=5.714x1.5]wDrwSTxg662Lz5e4e/iXLMOsEz5nZiDF+Z3t4edFiXA=[/tex]是不同的素数. 若群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]没有[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶自同构, 则[tex=3.714x1.286]HonlIKcOo3//2XaJkFRQww==[/tex].
4
设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是[tex=1.357x1.357]1BnqVE0wa5Q10v1xdLbpkw==[/tex]的素因子, 则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]有[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶元.