如果有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的每个极大子群都是单群且都在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中正规, 则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只能是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶群, 或[tex=0.929x1.429]Oe1sITdLfgoJMrP2LLsThA==[/tex]阶群, 或[tex=1.0x1.0]I5Z2flVFjMnDwqtQo3l5FQ==[/tex]阶循环群, [tex=1.429x1.0]oXDZBpqHCK0AEtZ4kgbZLQ==[/tex]是不同的素数.

2022-06-11

如果有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的每个极大子群都是单群且都在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中正规, 则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只能是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶群, 或[tex=0.929x1.429]Oe1sITdLfgoJMrP2LLsThA==[/tex]阶群, 或[tex=1.0x1.0]I5Z2flVFjMnDwqtQo3l5FQ==[/tex]阶循环群, [tex=1.429x1.0]oXDZBpqHCK0AEtZ4kgbZLQ==[/tex]是不同的素数.

答案：

情形 I. 设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]至少有两个不同的极大子群[tex=3.143x1.214]EZfNWcIVNdAbRX/ALCw2yA==[/tex], 则由题设[tex=5.5x1.214]tPJCcozkwfOaHqC5DpcxLKuBVFDbbk0+qtNTMKhLYmz9AoKJrDKIpnUN8YuUgHWh[/tex]. 故[tex=3.786x1.214]tPJCcozkwfOaHqC5DpcxLOpf1k0neTb3gXMnZJBN/q8=[/tex]是[tex=1.214x1.214]R9EssoCd9ygjVjHtJD8FeQ==[/tex]的正规子群, i=1,2 . 但[tex=1.214x1.214]R9EssoCd9ygjVjHtJD8FeQ==[/tex]是单群且[tex=4.0x1.286]FrymSzUfgvM+fMpX+tYNXWvb9kHPP0s2VlcffDu+Lfc=[/tex], 故[tex=6.071x1.357]tPJCcozkwfOaHqC5DpcxLGCavkqyXg7n9vfhx8lp/x8=[/tex]. 从而[tex=5.429x1.214]yuzz2pJF7ViIDd1M1T/kHO04a6Y7pHxBCr28EvyGqc8=[/tex]. 因[tex=1.357x1.214]r6kyuK6v63os0hAR8xU0Pw==[/tex]极大, 故[tex=5.214x1.571]Jw4aXu+jqS46EJKXjqlqLXeQuEZZd7jtQD8OjqEOaWs=[/tex]除了[tex=1.5x1.357]W1+jQ/p6GVpVlq7moxRXrQ==[/tex]和[tex=1.357x1.214]ts3jJA1o406Oa+QVepM5Jg==[/tex]自身外无其他子群. 因此[tex=1.357x1.214]ts3jJA1o406Oa+QVepM5Jg==[/tex]只能是素数阶群, 同理[tex=1.357x1.214]r6kyuK6v63os0hAR8xU0Pw==[/tex]只能是素数阶群. 因此[tex=4.929x1.357]uSIZIVuW9kFFNMLPwMnmjQ==[/tex]是素数. 于是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是[tex=0.929x1.429]Oe1sITdLfgoJMrP2LLsThA==[/tex]阶群, 或[tex=11.857x1.571]nSHutFv3Y60ZrYpBPAOTqtqtCNdk0gqWwkGdMJ7WHF3Dts8/g7CMRq8lpM8avQZO+/6Z616yPQY97eoHYmQ4dxjpRRoINDKAGxdNuKNQGSwRgtLohIht4y8qvOg1oh05[/tex], 即[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是[tex=1.0x1.0]I5Z2flVFjMnDwqtQo3l5FQ==[/tex]阶群. 情形 II. 设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]有唯一的极大子群[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex], 则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是循环[tex=1.286x1.143]tpAZj/OL1R5YNmGui2VDWg==[/tex]群. 设[tex=6.0x1.357]k3ivFC1sMOCrjFF00B04SX8nWsJ+FERla5HqgQbC53I=[/tex]. 若[tex=2.5x1.143]aW0W5FUAcsao0xMUkAb0BA==[/tex], 则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的极大子群[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]的阶为[tex=6.071x1.429]YaX2XMVqocpatWDoo3JK2BhPC27WFWrhUNcQNF2C/jI=[/tex], 从而[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]非单. 这与题设不合. 因此[tex=5.0x1.286]4BGRdxsuOw2gfwjLvvyHzRAsGKcexmaFJb4KIToPMBM=[/tex]. 综上所述, [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只能是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶群, 或[tex=0.929x1.429]Oe1sITdLfgoJMrP2LLsThA==[/tex]阶群, 或[tex=1.0x1.0]I5Z2flVFjMnDwqtQo3l5FQ==[/tex]阶循环群.

举一反三

内容

0
真子群[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]称为群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的极大子群,如果不存在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex],使得[tex=5.214x1.071]GXs9Ml7t4ZqYgZH/R2m5cg==[/tex].确定无限循环群的全部极大子群.
1
设[tex=5.714x1.5]wDrwSTxg662Lz5e4e/iXLMOsEz5nZiDF+Z3t4edFiXA=[/tex]是不同的素数. 若群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]没有[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶自同构, 则[tex=3.714x1.286]HonlIKcOo3//2XaJkFRQww==[/tex].
2
设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是一个素数,[tex=17.143x1.786]KwsgJFedmeHBiT2ur32zoG99C34xNnYO0RQwum8f8weiaBfrj+HiIJS3LUmCgH5PIUKNDYKzp26hB+HL8rmRU4QnNRBdqTIFwOEPciNMjT0=[/tex],则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]对于复数的乘法作成群.试证[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的任意真子群都是有限阶的循环群.
3
试证:群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的指数为2的子群[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]一定是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群.
4
证明:群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]没有非平凡子群的充分必要条件是[tex=3.071x1.357]xHviwcuNKPAAjtgsU6/TxQ==[/tex]或是素数阶循环群.