设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 以 [tex=1.071x1.0]tieuzjBYrMcmxP3HXZSPGQ==[/tex] 为周期且具有二阶连续的导函数，证明 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 的傅里叶级数在 [tex=4.786x1.357]WafKDm5071vVz9IYJgBhj8LbdrnQF2M50OcMtr5E7Yg=[/tex] 上一致收敛于 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex].

2022-06-19

设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 以 [tex=1.071x1.0]tieuzjBYrMcmxP3HXZSPGQ==[/tex] 为周期且具有二阶连续的导函数，证明 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 的傅里叶级数在 [tex=4.786x1.357]WafKDm5071vVz9IYJgBhj8LbdrnQF2M50OcMtr5E7Yg=[/tex] 上一致收敛于 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex].

答案：

证：由所给条件知 [tex=4.5x1.429]KO68YI1D3gahxJEMMRfSsOxofwbwZjCZCn2go/jio+o=[/tex] 可展开为傅里叶级数：[tex=24.857x6.929]rZM5/OPAdr7aX+kNl9iwpDRgOVlRcLSn/saC7iSBVZMJ51py05DKOBdXZ9rRp7v5Nwc6OXpzjniEEHJGaMiaOvfRDijXeXLiND7jzMjP5S/BoWOFXvxQmZJVXnZOF5kha2G+BzLURyy4e9W0+48OXoInWrouWbUAOCVsN7Ko2MzH2U/oZJv0AgcIuWObdwTK0oSiT8Pm15xoMp7a+yZGFv2jw68iRtYwOZ3L+3TwsrRw6/hp1Kg1ucQZ/dyBr4y/sycIT3r4Jm8q9Q1nBNHt5auMO+iQpxJUvEAnf1zjE4yktaMoDwECV0nnTA39B5lfyO+2lI5/n2BdiH9Fxl8poDyv8YzL2/8gOXSNSkdyl/ywmUDhGZtMnzCHpowDe/k0P01Bd89H2qzFy+jP7bLR1Q==[/tex]且有 [tex=11.643x1.429]5EP0RYRR+pbgH6LNLQb/WYd+WL8LZx8JORpkl/D+XYCqb2miLj6YeXwfdIwVufL728Y1tUdD4tNx39y6K0DvlA==[/tex],  [tex=1.786x1.357]mT5D+JSr5p2O71eCnoeicQ==[/tex] 的导函数[tex=2.357x1.357]UVMprE1DF//RpolMnhh30XW91LIpBQfIYr01ziT84Dbh2u6zv7+a90OzCiluDN7s[/tex] 的傅里叶系数为[tex=23.714x1.5]eT5GPvfzLZNUn1OSS+20YLuI+1CFWy0K11x2pkcxl1gc4lCqc5zM7ULUzlzm0ZHQo3f9ZMoFJY9FXaZSct1d5pruRg8VbkSGWKAH5Qw9T51iVON6wjC7MNfBCN1RrNHOD5uFs+bXyn+EoEYTQh0wkyvrqt5E1D1Ni6SADHy47AbbuO/oa/X83wuPbtHIuR82pD3ROilNwRHboH1VTEVvgF3OWV/pji5syUuSDbkxbw6qzR6ZCI0tLpk1krfgogeD[/tex]而由连续函数的可积性，可推出 [tex=1.071x1.357]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq8ZsmBcnfl7411dlx1nXwa4=[/tex] 在 [tex=2.929x1.357]nIefAqisriPSMkGVZXtFpQ==[/tex] 上可积，可得正项级数[tex=14.571x3.286]nTh0y7JV0tt2XU5ZEmQDnCAV9pwWUlgRf/kalP9+lS8R1BXYQnnYV59ocR79TXJOGwuCT6eY13GWYXhUCZB/+6nNc/fJOiqrCP9bwGVqOj2Fsija12n8FPnd7P91V5LVQNXzhhlp3yDaaXm5+Y7n1Lm1QH7yXDuubQvq3gFXlZjQoqZJgY35//IpPGCJnRLbdSNkqPUfF/H69AmH+dCSXATR67kcisYy65zVfaYC98c=[/tex]收敛，即取 [tex=6.357x1.214]O/G4QDEg873CKK5fnBBZQ8kfZOKLGyHWxqa8aKvPR3by+C3T3n7Mu/RqQNtAQBny[/tex] 当 [tex=2.786x1.071]yThi63usA2LCCH2wVROBcg==[/tex] 时有[tex=7.714x1.571]ays9kUBhlaWh4bCP/hr/ejIW09DIgzi5DbQzBoq3i9c/fagZk3iN7jMKT02ge+06lRINgiev0AXFv+ET3dFIyw==[/tex]，即[tex=13.357x2.357]qg4N/Dv+5Q4oFHuDoGfSel+ZlANCSoHHDerzinHl8ljrZIlr+p62Ij4CqKWth9s5PP8H2E9VmxnLxtNiK/rebyLIQuBqi+mDl2KtgbHE7CO5OYh+aPIorLUf5wm7YSXBwa3Vupi1I065+VYzpFZ0bQ==[/tex],且 [tex=7.0x2.357]P6xogcT0v+MaB5vfTP/QuY26u7ViEJSRb4AqrM2VS0azHCaW9ywbZso6GoVdVN5EhPpaYxkmLWnKZqkdtxCxOQ==[/tex] 及 [tex=2.857x2.357]4bhRVfBNJ4ZoDvgc3UUDbV3uRrW9N43/VnPifTD6E7k=[/tex] 收敛，因而当 [tex=2.786x1.071]yThi63usA2LCCH2wVROBcg==[/tex] 时 [tex=9.429x3.286]U1PEEjyNi93HGUa8Oi6bLH4KOPOTQ2ssp8b4nKHU3blp/AHxsEJfR3N4Z9Jq6fLsiQM38YWAqOqOLf3dmsLnSe3m41HGKdSwiC2e5R3TZhxB7r9cfnztQaGJ9Nb7d5XStxAhes1JoJnBxEDVysYVPg==[/tex]收敛。故 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的傅里叶级数在 [tex=4.786x1.357]WafKDm5071vVz9IYJgBhj8LbdrnQF2M50OcMtr5E7Yg=[/tex] 上一致收敛于 [tex=1.857x1.357]mBPXSiCoZ14xGxRQ+Iwkyw==[/tex].

举一反三

内容

0
证明: 双线性函数[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 具有正交对称性的充分必要条件是[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]为对称或反称双线性函数.
1
(1) 叙述无界函数的定义；[br][/br](2) 证明：[tex=4.0x2.357]Skzfc0ZxjrbUnQ48HU5E0tXmPoDSwwji7Ikqu4Ix2eQ=[/tex]为[tex=2.286x1.357]IVQHL7gpVvGMeTU2JgKtIg==[/tex] 上的无界函数；[br][/br](3) 举出函数 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]的例子，使[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]为闭区间[tex=1.929x1.286]5WiKxiqIs2aMQ1aNQurkGw==[/tex]上的无界函数。
2
证明：若[tex=3.357x1.143]E9Jtz0PjQpdGMcr9IFHQhXy1cbNtCnfj0tqXPhUAv0M=[/tex] 是有界闭集, [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上的连续函数, 则 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上一至连续。
3
证明:若 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 为函数,则 [tex=9.857x1.357]8USmHdFqvMrIwX+ztV4M7gB2th4y0rQL3FzmNZPVjSA=[/tex]
4
证明：若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，且对任何[tex=3.071x1.357]oMv3xI7iNPSl5df0WXB8hw==[/tex]，[tex=3.714x1.286]VgLe0qw4dAI5uBnknp9bCOFzwtDsITrGVQ9OZlj0zNo=[/tex]则[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上恒正或恒负。