设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]对任意[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]，[tex=2.5x1.286]EPSGJZaCuwY5xHx7jbphAw==[/tex]适合方程 [tex=8.286x1.357]NrfAfdVJZxj47IYGp0SatnPBpQm8CbV+z0k8TH8YZfo=[/tex]证明：（1）若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在一点[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 处连续，则[tex=5.0x1.357]0vg1WFsquVdtGeGJnyVAbQ==[/tex]；（2） 若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上单调，也有[tex=5.0x1.357]0vg1WFsquVdtGeGJnyVAbQ==[/tex]；
证明 应用[tex=8.286x1.357]NrfAfdVJZxj47IYGp0SatpPuwY2LtP9OWw54ZsDlAAE=[/tex]的条件，当[tex=3.143x1.214]I+uQdkFsZXMad/6RnipPiA==[/tex]时，有 [tex=10.714x1.357]idzP5N0XfBwDzRWVREaZy1uO5XSSWj7YjBiyv6ibm6o=[/tex]，所以[tex=3.071x1.357]cV8DJRLRVo99uGOY/uNCwQ==[/tex]，又[tex=11.786x1.357]h6t5Baql9ZqY1BoTJWF2CKwNjg5FnHNDPTpNDvtzoqg=[/tex]， 可得[tex=6.071x1.357]EBCq+mtfyesj6hID3pGorg==[/tex]，[tex=2.571x1.071]xTeoSV/A3a7B/JE3gM4Ebw==[/tex]，因为[tex=13.786x1.357]NcgbrUfD8NhxxkBAmh9VOdCIQQXWtPd2WTSD/UCK/Z8=[/tex]，利用归纳法易证[tex=5.071x1.357]/+/2Ipuv4MTM34XgQlXLpA==[/tex]。对有理数[tex=1.143x2.143]Vw/dIP1pz/ltkCy3NOGDEw==[/tex]，[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]，[tex=2.071x1.071]4wEakpaRslP1UXvqv1Rukw==[/tex]，由于[tex=11.071x2.786]+bfm/k1au9tX51ezUj4RvlV03I930b+m/1z5CO+Qy8Yjg5rxZ16t4KNG4uLkALR8gvAAQav0AichsrttR/zVcE5dAU2cJLQEPjHMBoGbyQM=[/tex]，故有[tex=6.857x2.786]3uDDpJmj7lHTl9fkBeERIOgryp4rfUYcgqt5epHK8w9v7KtHyxAN5LSF8oahfDCf[/tex]，从而[tex=17.214x2.786]cZKXu5G2zSRmITodQLfXw/aDSNkDsndE9U2L4axPxdH4ml/K9mAVaGR6la+pizxmsqRCEOtAL039E/v6H2HZ9P2qdGVv6GcTt7v3Pt6GDfT3qKAHTQJjzTyD0FNAbJqAfQnOB+oQsirALeFV50c8AQ==[/tex]。（1）只须证对任意无理数[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]，[tex=5.0x1.357]MjJgnHpdgili84RcW6lLjw==[/tex]，[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex]处连续，故[tex=10.071x1.857]1cNPXWmNAZkL9HqhC793BsKhsFNEBuhhwh8D3GFYziZwpf9g5D+HLV3hxEcYyQaIcbK0cmlZOOkoBX1f4BdKRWN3i69LsBPLqlQ4fWHyeYE=[/tex]，由于[tex=11.5x1.357]lr2CsFfEGIOlBDxh49QVHTc5/Sry0cFsY0INS34+O1FzM/xSyv8+btmVUWTzR56UGb99Ev7htZAA/aos7HGOMA==[/tex]，因此，对[tex=2.0x1.0]CbkIWR/exSr7XQEZ7GYcVebnwYTxlwnzIPDHK5mc/m0=[/tex]，有[tex=6.214x1.857]j7nOhXvwRASzuk3Za/to8H2/M4w0RUUprhxYjqoVBO78nbyd6HH686LAogxNNyope2Bg9mlxvX+gFMfvC2X4RQ==[/tex]。对于[tex=2.571x1.071]xTeoSV/A3a7B/JE3gM4Ebw==[/tex]，由[tex=21.571x1.857]rtIhwhTeL2uyxPod9PwIxxeVLZIqhsfAHcD+En6w3h1ELJsddjBcpNg+/7bHNUJKkAGCQqwDFBPRnLbAGvGkTVzgODg24hh4Q/4tpoEOMBPXJA1yxvZI2ftOkFnOPA5J0lrzWCchdU933TJTlX1MAw==[/tex]知，[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]在[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]点处连续，即[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]上连续。设[tex=0.857x1.0]5F8zkd5nJTZdXM2trw2H/A==[/tex]为任一无理数，则存在有理数列[tex=9.0x1.357]crCdOOmz9mx3DeTgsU0ja/PkLXZwKHV5Li6TD9ZjG2xoOOUKsOrV0FiYuwCr+Uc3[/tex]，[tex=9.286x1.857]c2kqwGQLvXELGp6tOD2aMPKqRV05YG/wWOlR3T0JSv+MsqGeYx84pXIq2qCUHOGkfDUKPh1c0FdB9eLjCAiMwKlm/HPF2NnTNAQ6pRirQ6Q=[/tex][tex=8.643x1.857]OqU0SQaVHd2x+OGLCy0gvYBam1scoGb85aXlrH2seXiAwFKbP91AbHuXiPAmzh2cRvgkCjB4AMZ9NklO/Q4N+w==[/tex]。这就证明了，对[tex=2.571x1.071]xTeoSV/A3a7B/JE3gM4Ebw==[/tex]，[tex=5.0x1.357]K4F+HzTmltY0zqz0P/UVWQ==[/tex]。（2）不妨设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上单调增，对[tex=3.143x1.071]jbxPDqaptjxuY9xhjQQHm6F1OE0YQqqXgz9/arAiLVs=[/tex]取有理数列[tex=1.857x1.429]Cy5vS4JCJjtEsZzm1XA9FqPeILepz4wxxX0LPnhs61o=[/tex]，[tex=2.0x1.429]Cy5vS4JCJjtEsZzm1XA9FpYXEj331zvdTsVlVl1thJLLhUJnlMQMa3D2TkiNma6v[/tex]使[tex=5.071x1.429]8ECSdNCL/qOZmo3E3xxEAy9QA/YS6OwYy6/6YoyfPZeWbdLgEJ5aF/lzHDA8gM6K[/tex]，且[tex=9.214x1.929]8vJYfWnQRBqJWdmg/yoyrKJvskt13tcJH8WVF/uDufXy1Li5ZNMzq6Cubm8aISVvYjOy9D9jEfu92hrLHE5TW+QBo1RfyjNn+wQcT27Zi3NYUW7e0WALGF3d44Bxn6WJTSvkYQfOiBGnWIZXzYskgA==[/tex]，由[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]单调增的条件得[tex=16.643x1.429]r2Y4V+5VYM7PgVGuPF6/+qPqisskEMXr+2TRePVIqXipLQAjPQE4GgNVBuF0cpo8jUHpAu/4hZp6/CkSB8McEXxDbsT4jAaMoG6Ry/R31cdskU2usv8nLrItg09UV3it9tpjMN93p6ABri+paVUiCL51sp08HhzMdQn8MDSKdCPiP/iCx4AeDLZ0JbLV+FAWQ8P1sQM8JNFe7fC2Mh1UVA==[/tex]。令[tex=4.0x1.071]MxeEXtbAhOlBwp14eXR+x7I9/C84x9Qj5EavQDKXQ9k=[/tex]有[tex=9.214x1.357]ZzFm6oWYvVaEU1S1GyWd8xgGjRUmFNMdLxD+kEM7A6/V+AXeowPGG+sS8D5Dhu2q[/tex]，即 [tex=5.0x1.357]mT3H6T/pTqCVY1QTHUdjxg==[/tex]。[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]单调减的情形可用同法证得或用一[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]代替[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]证得。
举一反三
- 设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在有界开集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上一致连续。证明：(1) 可将 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 连续延拓到 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 的边界；(2) [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上有界。
- 设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]为定义在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上以[tex=0.643x1.0]uPu/UBwxTDghY6MHYDLmcA==[/tex]为周期的函数，[tex=0.571x0.786]WLga5RWgrUta8vWDwROpYA==[/tex] 为实数.。证明 : 若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在 [tex=3.429x1.357]yn+eS8j3jL70HAQbcELryg==[/tex]上有界，则[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上有界。
- 证明：若[tex=3.357x1.143]E9Jtz0PjQpdGMcr9IFHQhXy1cbNtCnfj0tqXPhUAv0M=[/tex] 是有界闭集, [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上的连续函数, 则 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上一至连续。
- 设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 以 [tex=1.071x1.0]tieuzjBYrMcmxP3HXZSPGQ==[/tex] 为周期且具有二阶连续的导函数，证明 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 的傅里叶级数在 [tex=4.786x1.357]WafKDm5071vVz9IYJgBhj8LbdrnQF2M50OcMtr5E7Yg=[/tex] 上一致收敛于 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex].
- 证明：设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 为幂级数(2)在 [tex=3.571x1.357]J/gPZBpwGHv4oUGrZadE5w==[/tex] 上的和函数，若 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 为奇函数，则级 数(2)仅出现奇次幂的项，若 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 为偶函数，则(2)仅出现偶次幂的项。
内容
- 0
证明：若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，且对任何[tex=3.071x1.357]oMv3xI7iNPSl5df0WXB8hw==[/tex]，[tex=3.714x1.286]VgLe0qw4dAI5uBnknp9bCOFzwtDsITrGVQ9OZlj0zNo=[/tex]则[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上恒正或恒负。
- 1
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=4.0x1.5]o0EugHY/eN16Hz+QLo+BIUiKWbXKuxVC0tSzj7xDCHi+kyFognSyy6B7Ak0bbIxH[/tex]中的有界开集，[tex=3.857x1.214]Tho5m+2VLMUARZGtb7om2ZtLvl+pxnfDP44ZAfSBunI=[/tex]为一致连续的函数，证明：（1）可将[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]连续地延拓到[tex=0.786x1.143]wPwG2U8kBJ7pwP99XAF/rg==[/tex]上;（2）[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]上有界。$A$ 上有界.[br][/br]
- 2
设[tex=3.857x1.214]InKUpi6cxupw+BnDNOM0bPzGUtUpclRJyzbVU77wJf8=[/tex]为连续函数，且[tex=3.143x1.071]jbxPDqaptjxuY9xhjQQHm6F1OE0YQqqXgz9/arAiLVs=[/tex]都为[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]的极值点，证明：[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]为常值函数。
- 3
证明:若 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 为函数,则 [tex=9.857x1.357]8USmHdFqvMrIwX+ztV4M7gB2th4y0rQL3FzmNZPVjSA=[/tex]
- 4
(1) 叙述无界函数的定义；[br][/br](2) 证明：[tex=4.0x2.357]Skzfc0ZxjrbUnQ48HU5E0tXmPoDSwwji7Ikqu4Ix2eQ=[/tex]为[tex=2.286x1.357]IVQHL7gpVvGMeTU2JgKtIg==[/tex] 上的无界函数；[br][/br](3) 举出函数 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]的例子，使[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]为闭区间[tex=1.929x1.286]5WiKxiqIs2aMQ1aNQurkGw==[/tex]上的无界函数。