设在可测空间[tex=2.714x1.286]69WxHq9qVD3fugCNrjvk4g==[/tex]上给定两个测度[tex=1.0x1.286]aDm8yaPYi/7czcKITm1eEQ==[/tex]，[tex=1.0x1.286]J1YJfJNI1jkFPLD6AZTN5A==[/tex]，令[tex=7.0x1.286]j4JTUmYa5ZzKaC5WD2E41hglT7FN3XsUwCVffR5QzMdWKffgG/HRlzXNecwgwRt7[/tex]（[tex=0.929x1.286]9U2j1Gbqm0O79gD5ES/JNw==[/tex]，[tex=0.929x1.286]HEtnRRsrwqE/GmGq6JzdiQ==[/tex]是任意实数）。试证存在[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]的分解[tex=4.786x1.286]iLCC2lx+uE9bggBFY/udzg==[/tex]，[tex=4.643x1.286]vYeBzfi61ys+UFaW5jjlt7zUfJ6spdX1WMv7YjhyeaU=[/tex]，使[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]的正集，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]的负集（[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]的正集[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的定义为：对每个可测集[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]，[tex=2.643x1.286]u6L3OnfpCXjQuwSWwkH/JQ==[/tex]可测，且[tex=5.714x1.286]CvK0ZVPuwKRZT5Xegwx4XhjeAsgtfotHgocHG5nGY+g=[/tex]，负集的定义类似）。

2022-06-15

设在可测空间[tex=2.714x1.286]69WxHq9qVD3fugCNrjvk4g==[/tex]上给定两个测度[tex=1.0x1.286]aDm8yaPYi/7czcKITm1eEQ==[/tex]，[tex=1.0x1.286]J1YJfJNI1jkFPLD6AZTN5A==[/tex]，令[tex=7.0x1.286]j4JTUmYa5ZzKaC5WD2E41hglT7FN3XsUwCVffR5QzMdWKffgG/HRlzXNecwgwRt7[/tex]（[tex=0.929x1.286]9U2j1Gbqm0O79gD5ES/JNw==[/tex]，[tex=0.929x1.286]HEtnRRsrwqE/GmGq6JzdiQ==[/tex]是任意实数）。试证存在[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]的分解[tex=4.786x1.286]iLCC2lx+uE9bggBFY/udzg==[/tex]，[tex=4.643x1.286]vYeBzfi61ys+UFaW5jjlt7zUfJ6spdX1WMv7YjhyeaU=[/tex]，使[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]的正集，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]的负集（[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]的正集[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的定义为：对每个可测集[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]，[tex=2.643x1.286]u6L3OnfpCXjQuwSWwkH/JQ==[/tex]可测，且[tex=5.714x1.286]CvK0ZVPuwKRZT5Xegwx4XhjeAsgtfotHgocHG5nGY+g=[/tex]，负集的定义类似）。

答案：

证：首先应假设[tex=1.0x1.286]aDm8yaPYi/7czcKITm1eEQ==[/tex]，[tex=1.0x1.286]J1YJfJNI1jkFPLD6AZTN5A==[/tex]中至少有一个为有限测度，否则当[tex=0.929x1.286]9U2j1Gbqm0O79gD5ES/JNw==[/tex]，[tex=0.929x1.286]HEtnRRsrwqE/GmGq6JzdiQ==[/tex]异号时，将可能出现[tex=3.143x1.286]T0pmFjtXdcf632JrZzqnTSOVq5nlp0KW/IpDKt3Xe4c=[/tex]的情形。在此假设下，[tex=2.071x1.286]J/WEzo7ra9FzYmRtTKNfiA==[/tex]不可能既出现[tex=1.714x1.286]vTE+uRovbI7pr/tCCPEkrw==[/tex]，又出现[tex=1.714x1.286]bLUBXEjbionNT4zxthce+Q==[/tex]，不妨假定[tex=8.143x1.286]bmMwXY3Xrhsjio3DhaoBAL7LrJaBCoBmswRWTijbNGXIbdXJ0jWXRvTkPplpNaj0[/tex]。易见，可列个负集的并仍为负集。设[tex=11.929x1.286]9MOqnpXXQI216HoE7AqpfCOHOniTV9QIPclpB8XPRltFbZKSWoRMS4LpOZgHbTi0[/tex]，又设[tex=2.0x1.286]h8DsmEcNJA1mVf4GdCGDBW8+Tr7wT5Ne/0h3kXfK6Mk=[/tex]为可测负集，满足[tex=6.071x1.571]NoTgALWpMKj/YnR1k4D5yf4P9xgbtpKJFSuFaffbvoGGpOovDiU0WqmRZvyvbUyy[/tex]，[tex=4.571x2.714]lKpBOJPOqN0OwjtJnNTkbLYDE7e3orHaahOOIzpqVc7jPjRmvjNIu8G3u4C5DMCD[/tex]，则[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]是一可测负集，且[tex=4.071x1.286]OtS4WhqLpuV7y2NvPrmMoiK0BXC9zB5Pb3/08OtZFrA=[/tex]。再令[tex=4.929x1.286]c6t85huOBuaWoBzJjSNwcQ==[/tex]，可证[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为正集。事实上，若[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]不是正集，则必存在[tex=3.214x1.286]W9llLYkvoX65LLn1bQ55YSeTTOO5pJY6p7L1P+LiCo8=[/tex]，使[tex=4.5x1.286]jXLwi7H2GYdmZ1SZySXvo4+jyQe8sce84zKO1rHjV4Q=[/tex]。[tex=1.143x1.286]+Dt06uo4sXUacyCWoQGoYA==[/tex]不可能为负集，否则[tex=3.357x1.357]euzi5HID2oDKq6vvB7DjVf2hULllcUsx0GqcoAO2I1o=[/tex]仍为负集，且[tex=9.857x1.286]BNCX+2CTOi4kmn/pVAFsWfxMEQF7wzjRP9LsHWjUcRtq2Yx5glBJSn7sKQP9dfKx[/tex]，与[tex=0.643x1.286]mI2l8V/Tmuo7C2MtPPAzQQ==[/tex]是下确界相矛盾。因为[tex=1.143x1.286]+Dt06uo4sXUacyCWoQGoYA==[/tex]不是负集，所以必有[tex=3.214x1.286]kdd7muAdJRWiYpNojXZWHUnse4o0mo4XR1MOABDqG5U=[/tex]，使[tex=3.929x1.286]CSR6EIW1YaArlylePte4Kg==[/tex]，由于[tex=7.5x1.286]HlK0whm8XmEIEqY2t2oZZhUK2wkm7M8TP83ggRGqNbF3mtOL22JNYUULuxYWVp4f[/tex]，可知任何[tex=3.214x1.286]kdd7muAdJRWiYpNojXZWHUnse4o0mo4XR1MOABDqG5U=[/tex]，[tex=8.143x1.286]bmMwXY3Xrhsjio3DhaoBAKF3FHYK3DJoIzcX6o6ac/s=[/tex]。事实上，因为[tex=11.857x1.286]36hAb/6grnIuauBtxPE0wJMuqGDtCNoEG/fPxukpNrbN1fMLSLpRTv2DXcOlxO+NTIRh6KO03bReQ4AlftpMXA==[/tex]，[tex=10.643x1.286]HlK0whm8XmEIEqY2t2oZZliJvPXWIJ26bHcScU4g+T/6vkXBNFYrdBToeS0B6bYXJ15wBwnhOtYtrtUwBUHbhQ==[/tex]，若[tex=5.143x1.286]eiwPvDeaxH9L4ELgVanhi1WxJO2AtaZjoXSD965hhpE=[/tex]，则[tex=5.643x1.286]jXLwi7H2GYdmZ1SZySXvo9hAtxc/NURoYwbJMWfmLemVK5ct64VCoh1cGXvZcRXR[/tex]，与[tex=4.5x1.286]jXLwi7H2GYdmZ1SZySXvo4+jyQe8sce84zKO1rHjV4Q=[/tex]矛盾。由上可见，对任何自然数[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]，[tex=3.214x1.286]kdd7muAdJRWiYpNojXZWHUnse4o0mo4XR1MOABDqG5U=[/tex]，且[tex=4.214x2.0]93v1KCktEo76JCdG4UA6G7R4J/Z8JdPJmCTxnq/Besk=[/tex]的集[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]最多为有限个，将[tex=9.786x2.0]93v1KCktEo76JCdG4UA6G+/F2PbthE/M6A9mIzbPo0QukHGxhs96ahPicZkbpHkV[/tex]的至多可列个集[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]排列为[tex=7.643x1.286]P01VcRHVQw7fiQxLJ6IqVHMk4Kl8/P2h+nsCBUeEo4L/f67e8OA6CoH77KfU+fM7[/tex]。令[tex=7.429x2.714]NVNZrmf2FqTxkPip3vzFQWuAb9SoS3L4+ZOC66MAEsXgD9bwb746Y//72ZACiIWn[/tex]，则对任何含于[tex=1.071x1.286]Dz7/vh1s8Z5rzFFYu9edHA==[/tex]的可测子集，必有[tex=3.929x1.286]lXDYhGrIwS/Re5tzbT2gPnfBLnP72b1Yy5SlLGDVNNE=[/tex]。因此[tex=1.071x1.286]Dz7/vh1s8Z5rzFFYu9edHA==[/tex]是一个负集。又[tex=1.071x1.286]Dz7/vh1s8Z5rzFFYu9edHA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]不相交，且[tex=18.5x2.929]ZCJ5NKAMo2/Vw0i+jc48bw4MV25NBSRDx+Pzf5RugYVfpcwXg4uwi5/KIsUG3LVUkrRev/ZNJjE4TGuJRdoJJ26zeg2L2eQ+kipnft0Kra/2b2YmVTjdl3cdeR6za4Vkhi1bkUVaFWsujMmD+0M8ybmxt2cT6bzfipysnh0uE1c=[/tex]。于是[tex=2.929x1.286]MpA9aN39JcKmWgd2Tc6j/nCMEPHvridi+Q5QDq9b/Po=[/tex]为负集，且[tex=17.643x1.786]ZForLhNc/wj/yVkVOO8QWPfilOEA/LSRMCHRyy1S3nJH7ew5ghXveVRyM0g7oTNenPPDvlupVRdU+8QkKqVRnBQhVgB0W7u+erVarnpwaTI=[/tex]，又与[tex=0.643x1.286]mI2l8V/Tmuo7C2MtPPAzQQ==[/tex]为下确界相矛盾。因此[tex=4.5x1.286]jXLwi7H2GYdmZ1SZySXvo4+jyQe8sce84zKO1rHjV4Q=[/tex]的假设不能成立，所以[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为一个正集。

举一反三

内容

0
设随机变量X，Y均服从正态分布，[tex=6.0x1.286]/ZR0dAzaI7eKAw6bIvA7M9vEktdejpoVk46zffnYIOrPQSFLFEYeuGafGbNwG7+2[/tex]，[tex=5.857x1.286]mSwy1LlzIpZh/7u+rnVzCzISW9xJM1CVYxTB6GhHUS0Pel5PHJdnfQPX4nCoWomv[/tex]，记[tex=8.429x1.286]gcnSYvIjNYC+x/nJQip9u41mUgcQGwzLOGpkbP0WGD0=[/tex]，[tex=8.286x1.286]HF/dJ5uNVGoxduBrGE1mE/mioCVhZFeh2L9jfB9c8I8=[/tex]，则未知类型：{'options': ['对任何实数[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]，都有[tex=3.143x1.286]4mK0F7ApSrBjXHZ0TtLJPGBUgWzQJ1CvyXtI/VoFkOk=[/tex]', '对任何实数[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]，都有[tex=3.143x1.286]YhIIDd7/cEwUQb3xvUt0dzEgK9IHj11gL+KsEj4X/Fw=[/tex]', '只对[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]的个别值，才有[tex=3.143x1.286]4mK0F7ApSrBjXHZ0TtLJPGBUgWzQJ1CvyXtI/VoFkOk=[/tex]', '对任何实数[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]，都有[tex=3.143x1.286]xqsFSnJUF6+Xj1n1A3IhljbIK13LJa6Dwb6Iwn5KkHY=[/tex]'], 'type': 102}
1
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]上可测，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]是[tex=1.286x1.286]FXVRN1xB7vaj5ClCNqxQ6rij3XPJkzrWPYjpkz9GejE=[/tex]上的博雷尔集。试证[tex=3.143x1.286]h1WUAM0wrWedec2yVQg1uw==[/tex]可测集。若[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=1.286x1.286]FXVRN1xB7vaj5ClCNqxQ6rij3XPJkzrWPYjpkz9GejE=[/tex]上任意可测集，问[tex=3.071x1.286]ngArMETJ4jqXTWGnMO2kAQ==[/tex]是否必定可测？
2
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]分别为r，t阶方阵，令[tex=6.714x2.786]5ZuEj1KRR/p9rD5ciF5Q2vvXSfjg0VXPHhmFWiPFS2/SA8KHwtoSVZP0YAs7p5AENY2TCY5M+lipH1NzujgJLw==[/tex].（1）证明：[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]可逆[tex=1.0x1.286]rOrw2E3Z1BdSSAw41TowZ4iHlO4qaDBsGJ7nVzEmCWM=[/tex][tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]均可逆；（2）当[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]可逆时，求出[tex=1.786x1.286]mvDokazZ7eCp/B72qeYNZA==[/tex]
3
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶对称矩阵，对任意[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]维列向量[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]均有[tex=4.929x1.286]C/XXYpOuqMMD92TILeWjML21tCr7xajq+PECb/HEKQA=[/tex]，证明[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是零矩阵．
4
设总体 [tex=6.071x1.286]/ZR0dAzaI7eKAw6bIvA7M0g+s+6kB+5nIfckJgPP1nhaYFrm8S5qbrfgYj2MPMNG[/tex], [tex=1.0x1.286]51n47HV7nln8qIGpThl1pg==[/tex] 为已知， [tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex] 为未知，设 [tex=6.357x1.286]KVoy4dOWnNwvy9BLl7knKSTs09Z9vAkENvcNTgIGA+Upt0L25ih9LiFYXgNs0ZMN[/tex] 是来自 [tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex] 的样本，则 [tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex] 的置信水平为 90%的置信区间为[input=type:blank,size:6][/input]