证明如果[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是奇素数，则梅森数[tex=2.214x1.143]TyoEE1I4Ak/niYY4uWazLQ==[/tex]的每个因子都具有[tex=2.857x1.214]ANwm+KfbEUENdsZB15T/vA==[/tex]的形式，其中[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]是非负整数。

2022-06-19

证明如果[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是奇素数，则梅森数[tex=2.214x1.143]TyoEE1I4Ak/niYY4uWazLQ==[/tex]的每个因子都具有[tex=2.857x1.214]ANwm+KfbEUENdsZB15T/vA==[/tex]的形式，其中[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]是非负整数。

答案：

解：假设[tex=0.5x1.0]NSsYk+dfiqXGkmCPT5DyRg==[/tex]是一个奇素数满足[tex=2.929x1.357]GfCgu24PZsE2/3LvITgUtA==[/tex]。由费马小定理，[tex=3.786x1.5]QImrdBGHCyBdzbX5vMZ44uZz5rqbpPGjO5XYvh47ueg=[/tex]。由题意可得，[tex=14.429x1.643]DwNaq3MAdsNOFWbOq8xBI8qg3I7dD76s3fwDECXyeKjEjC6cw/7/CVMnJkcRJ79f65igYhkPSGsld1nAp1KDloOcvJ8+oO/ruLySC6Es39ruMbijnC1kJZ7zd1slA8/s[/tex]，因为[tex=0.5x1.0]NSsYk+dfiqXGkmCPT5DyRg==[/tex]是[tex=2.214x1.143]TyoEE1I4Ak/niYY4uWazLQ==[/tex]和[tex=3.071x1.357]oyH5+CzTkhl3zb2XzrORWQ==[/tex]的公因子，所以[tex=9.929x1.571]DwNaq3MAdsNOFWbOq8xBI8qg3I7dD76s3fwDECXyeKj81vOdxxKaa9genyGJAXwRIAbYktDxlnq2/Y1dh9bgQw==[/tex]。因此，[tex=6.286x1.357]DwNaq3MAdsNOFWbOq8xBI9OrEJBM7kruDRQGTDd83Qo=[/tex]，因为另外唯一一种可能，即[tex=6.286x1.357]DwNaq3MAdsNOFWbOq8xBI2hWYr2Z1ri8KPN2rInF9dQ=[/tex].所以得出[tex=9.5x1.571]DwNaq3MAdsNOFWbOq8xBI8qg3I7dD76s3fwDECXyeKj81vOdxxKaa9genyGJAXwRbvVj4Szzh+MUCv1BGV5XIQ==[/tex]。因此，[tex=2.571x1.357]rArkoxyglZSO0oaphMTSEQ==[/tex]，所以存在一个正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]使得[tex=3.929x1.214]lRfvkVBIpCkFP5XTlxR7rw==[/tex]。因为[tex=0.5x1.0]NSsYk+dfiqXGkmCPT5DyRg==[/tex]是奇数，[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]必是偶数，比如[tex=2.714x1.143]J2fGEeCy2SyTKAsCpv/YCw==[/tex]。所以[tex=2.214x1.143]TyoEE1I4Ak/niYY4uWazLQ==[/tex]的每一个素因子都具有[tex=2.857x1.214]2xD55+t9qWGwh8PZdTbSoA==[/tex]形式。而且，这种形式的数的乘积依然具有这种形式。所以，[tex=2.214x1.143]TyoEE1I4Ak/niYY4uWazLQ==[/tex]的所有因子都具有这种形式。

举一反三

内容

0
当[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数而[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]为正整数时[tex=2.643x1.571]9i1Y6+yjpoRdGfpHIiDGeRkEimFdoDS96Hol/KIe7/M=[/tex]的值是什么?
1
利用费马小定理证明如果[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是素数且[tex=2.429x1.357]P+bpUjVs1teTMyLLW3uuMotk2wBeNSTFKz/RJkjO68w=[/tex],则[tex=1.857x1.214]kxvQWSkoiS1kNi+1UDe4Yg==[/tex]是[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]模[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的逆。
2
证明,阶是 [tex=1.214x1.214]KJLx+EM1joQACiFbmjb7Lg==[/tex] 的群 ([tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex] 是素数) 一定包含一个阶是 [tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex] 的子群.
3
选择[tex=0.357x1.0]+eJLelx8thmbkEj/Y0iCOw==[/tex]与[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]，使１） 1274[tex=0.357x1.0]+eJLelx8thmbkEj/Y0iCOw==[/tex]56[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]9 成偶排列；２） 1[tex=0.357x1.0]+eJLelx8thmbkEj/Y0iCOw==[/tex]25[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]4897 成奇排列．
4
设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是[tex=1.357x1.357]1BnqVE0wa5Q10v1xdLbpkw==[/tex]的素因子, 则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]有[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶元.