令[tex=3.857x1.357]TC8iySBI76q8j/ExOdYpjA==[/tex]是域. 证明：[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上多项式[tex=5.0x1.357]3HE/PBJzKz2DL2j0B7A9JS5FYZ4lXVBgrcb9WioyXCc=[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可约，但在其分裂域中有重根.

2022-06-19

令[tex=3.857x1.357]TC8iySBI76q8j/ExOdYpjA==[/tex]是域. 证明：[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上多项式[tex=5.0x1.357]3HE/PBJzKz2DL2j0B7A9JS5FYZ4lXVBgrcb9WioyXCc=[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可约，但在其分裂域中有重根.

答案：

证：假设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上可约，不妨令[p=align:center][tex=6.714x1.357]NnTrVjItZYhRKdN60RyFlSpYwUxJw7AB+wc2+0JaEXA=[/tex]其中[tex=8.571x1.357]bDY9n2kO0jTdCrap+Vv6W0WskuqYP8SeA5zSFW8SvPs=[/tex]为首系数为[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]的[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]次多项式， [tex=4.357x1.214]C9gdhhBQojN/qaJxRI+rLYBMAFS9AyUvsFJjrChOlQc=[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的分裂域[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]内的一个根，故[p=align:center][tex=2.214x1.0]qQprzVjtVQjUInc5A1qyuw==[/tex]，[p=align:center][tex=19.857x1.286]q/NzouVGLppCZvn3myhRipxmJP4DkbkuFn4wctBM9ddpCdmevRv4njZsdGVjKcIZAE/bKxYLGqe3iJdFWTZeaQ==[/tex]，[p=align:center][tex=18.643x1.286]2CdtUv8NgZv2VwF6HbqTp9vEEz47eCkB1CcFQS4owtbnlQrYhIOQSF6EzOco2nCY8r7RbZxdCjlTsp0BRktY3Q==[/tex].所以[tex=2.429x1.143]KuPsVrjBpvvZ1Sh/THenTA==[/tex]因[tex=3.643x1.214]C9gdhhBQojN/qaJxRI+rLWQsSRI4E3oBjqcTRvOqetc=[/tex]及[tex=3.357x1.357]2CGHIDjNCOqa+BP0Ekv+qA==[/tex]可知[tex=0.571x1.0]Bo7IStDz3E6ODEhRG5PUDQ==[/tex]常数[tex=1.143x1.143]5DJnQ0PKBpSnAF8XUHSlgA==[/tex]，使[tex=3.929x1.214]hMHKkQ5CaR1c+BtA60Wc0Q==[/tex]，结合[tex=3.857x1.286]M7cO01t/13/axMuZtw79COGlh+os2kQgykkRmXncYJI=[/tex]可得[p=align:center][tex=15.214x1.643]8jUkWo+xYSYP38vPJuZaSCo5m+ZmUjwTWZe9RMwlO7azzk8XGHLoShQhIdGPvJBJizEvVLAEpp1SOXHnuK83F5AGD+J8VEWBKNtACgRcxb6Z1fI3sIPEvCox3yqhKNbC5InrSVv7pjYzQUjBkxSxZw==[/tex]即[tex=2.214x1.0]/rcNSIBKiMpgC20Pax3Esw==[/tex]，这与所证[tex=3.143x1.286]5GwTLh3x8FLiOpK2ebagZanbmU0guSXVaw+tA+dQbxI=[/tex]任[tex=2.143x1.357]Vmucvi37K+qgBdBk8bF3aoesJyJm0SrfS1SRCLpaVNE=[/tex]相矛盾，所以[tex=2.357x1.143]qV1MHSPu6SE4sI7UiZHxRA==[/tex]在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可约.由于[tex=2.214x1.0]/rcNSIBKiMpgC20Pax3Esw==[/tex]，故在分裂域[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]中[p=align:center][tex=12.0x1.286]FzDv2h5tjFIUP3CJOdYiQwkHTz54Zl8+BrhZo1ZtQJQyedHHT5upesOiQ1PVOiWe[/tex]显见[tex=2.357x1.143]qV1MHSPu6SE4sI7UiZHxRA==[/tex]在[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]中是有重根的.

举一反三

内容

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设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为[tex=0.5x1.0]jedlXyMYwmfVwxRj2j9sSw==[/tex]阶有限域，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]次不可约多项式. 证明：[tex=1.857x1.357]JLhpe6im6yaVqgdD5OYnKQ==[/tex]整除[tex=3.571x1.357]1Bl0boLIAs4rkF/1q1osRw==[/tex].
1
设域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]不是完全域且[tex=4.286x1.214]e9dgkRD4ubLrCzzjIX5OfeFJ1rfmgAh98WV2Rfi/BIM=[/tex]证明：[p=align:center][tex=8.0x1.5]8VpVp2U6VGixBpvDPO6wdFFdZ1Zh5NEQ2vbJpM7p7AI4fqr9DgYdhAg464wa/ehz[/tex]在域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可约的充要条件是，[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是不是[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]中任何元素的[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]次幂.
2
设[tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的某扩域中的元, 并且[tex=2.357x1.143]meoHEFKwdSrtRtTICAF4Uw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的极小多项式. 对于[tex=2.357x1.357]n8GQc38XvmGZfZ5nwx3wAA==[/tex], 求[tex=1.286x1.0]8Xn41q6UqA3xYbffChrL0Q==[/tex]在域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的极小多项式.
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假设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是一个四个元素的域. 证明:(1) [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的特征是 2 ;(2) [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的不等于 0 和单位元的两个元都满足方程 [tex=3.929x1.357]n/e9mCKNm2GRMd1tVtaOAw==[/tex]
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设[tex=4.857x1.214]wRbY2rsX3hsnG7bWPPLOLdOPUOps7uf9XLNyeCrKtV8=[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可离元. 证明：若[tex=4.857x1.357]3yFPsW2/nDLpcI2p6eAw/NpaPOeugO+V4WWwp6IBo7s=[/tex]，则 [tex=0.929x1.0]NcHr2jMtiiHYOWdCIwFGZg==[/tex]也是[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的不可离元.