令[tex=3.857x1.357]TC8iySBI76q8j/ExOdYpjA==[/tex]是域. 证明：[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上多项式[tex=5.0x1.357]3HE/PBJzKz2DL2j0B7A9JS5FYZ4lXVBgrcb9WioyXCc=[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可约，但在其分裂域中有重根.
举一反三
- 证明：设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的代数元, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的一个首一多项式, 则下列条件等价:(1) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 在域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的极小多项式;(2) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上不可约, 且 [tex=3.429x1.357]+nzvPBU74mdetNBw41Ue1A==[/tex](3) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的次数取小的非零多项式;(4) 如果 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上任意一个以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的多项式, 则 [tex=4.857x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXzDDg/gxGAj+UD6ur3wtHjE=[/tex]
- 设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上首系数为[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]的多项式，且在某扩域中有根 [tex=0.929x0.786]ZAiG7AJu8kc6lTV9euHRkQ==[/tex]证明：若[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可约，则[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的最小多项式.
- 设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是特征为 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 的域, [tex=7.643x1.357]btud4JFbMuvgYfQLcEnwE5avp8UnpnuLTNhSRnnni64=[/tex] 证明 : [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 中不可约或 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 中分裂.
- 设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是一个域，证明：在域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的一元多项式环[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中，有带余除法。
- 设[tex=4.786x1.214]hSQMLcBhgNFENgN022zKCw==[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可离元. 证明：[tex=1.071x1.0]d56LjdMUBXKbC4f6ujCFMQ==[/tex]也是[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上可离元.