设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是一个域，证明：在域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的一元多项式环[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中，有带余除法。
举一反三
- 设[tex=4.786x1.214]hSQMLcBhgNFENgN022zKCw==[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可离元. 证明：[tex=1.071x1.0]d56LjdMUBXKbC4f6ujCFMQ==[/tex]也是[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上可离元.
- 设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]为域, [tex=1.786x1.071]3EnMD8Lp8z0S89GwFkoaOQ==[/tex], [tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数. 求证: [tex=2.214x1.143]Mre2R7tJy7C9XM1O6gNHMw==[/tex]在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中不可约[tex=4.357x1.143]+EH8QzD9cG76c5hDH0qOnjmzil6k0wpxhCtak0DVdUE=[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]中无根.
- 证明：设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的代数元, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的一个首一多项式, 则下列条件等价:(1) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 在域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的极小多项式;(2) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上不可约, 且 [tex=3.429x1.357]+nzvPBU74mdetNBw41Ue1A==[/tex](3) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的次数取小的非零多项式;(4) 如果 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上任意一个以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的多项式, 则 [tex=4.857x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXzDDg/gxGAj+UD6ur3wtHjE=[/tex]
- 令[tex=3.857x1.357]TC8iySBI76q8j/ExOdYpjA==[/tex]是域. 证明：[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上多项式[tex=5.0x1.357]3HE/PBJzKz2DL2j0B7A9JS5FYZ4lXVBgrcb9WioyXCc=[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可约，但在其分裂域中有重根.
- 设 [tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex] 是以数域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 为系数范围、 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 为字母的全体一元多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 组成的 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的线性空间. 求证:[tex=4.857x1.357]bivgtssQ+sS+7Fn1Z0yfg6T7tBGhaTZYR9UTmID1rAU=[/tex]