单扩域定理 : 对于任一给定域 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 以及 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 上一元又项式环[tex=1.786x1.357]K4FsY6VgImZd8wLXRcESkg==[/tex] 的给定不可约多项式[tex=12.357x1.5]fS/Bf/jCTfAXbQL40apxgKNHfzBuPHplzfSwQMHOKjSm7HQ2F1okb+QYZa3nVcpz[/tex]总存在 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex]的单代数扩域 [tex=2.357x1.357]VoicuIRNXuOFNsgOu51kvg==[/tex] 其中 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 上的极小多项式是[tex=2.0x1.357]IpD5lLMNSoOfHDUzqLjOxA==[/tex]详细证明定理中 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 在域[tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex]上的极小多项式是 [tex=2.143x1.357]yJmi2mrkwuEXwLM8VXTLrQ==[/tex]

2022-06-19

单扩域定理 : 对于任一给定域 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 以及 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 上一元又项式环[tex=1.786x1.357]K4FsY6VgImZd8wLXRcESkg==[/tex] 的给定不可约多项式[tex=12.357x1.5]fS/Bf/jCTfAXbQL40apxgKNHfzBuPHplzfSwQMHOKjSm7HQ2F1okb+QYZa3nVcpz[/tex]总存在 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex]的单代数扩域 [tex=2.357x1.357]VoicuIRNXuOFNsgOu51kvg==[/tex] 其中 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 上的极小多项式是[tex=2.0x1.357]IpD5lLMNSoOfHDUzqLjOxA==[/tex]详细证明定理中 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 在域[tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex]上的极小多项式是 [tex=2.143x1.357]yJmi2mrkwuEXwLM8VXTLrQ==[/tex]

答案：

解 设[tex=0.786x1.0]bKMKqsGNKhrOTRc0JkSyAw==[/tex] 是 [tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex] 中一切满足条件 [tex=3.214x1.357]sVDiBVtykuju4XkWGXC+8w==[/tex] 的多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]所组成的集合,且 [tex=3.571x1.357]yuobyLnBiFqBTkrWhP9cuF096zjZG/GXx6ZezHw1CA8=[/tex] 故 [tex=0.786x1.0]bKMKqsGNKhrOTRc0JkSyAw==[/tex]不为空. 设 [tex=9.643x1.357]oVr3Dwq4mCJpVeSnaB2gBbrEZ9ko4I3dBz+dnTiin4sAT98/MtQeSJQHB4p3vO0C[/tex]则有[tex=16.857x4.643]qeiYnKXLEhyhuGRg8yLtr61TBk1cF/rWgi+pJuN09lu63+F0+fwOkPLGnv0hsq4VcMhVeN53Uw9tzWklcVCjoYHDlDhfngAEMUyOu53phNR+FCDwaoJ8LXnkrkKGyjBIIh1WGyZow9DukmhX0/BhVGgycEU1hGuPay5KUEYK0hAFnjHG4q+ry0OJNvaCuy/2ItPjBr4J/jF8JR6Ogfsdga8nHvreihC0o8NFuoi/QBndJFNirVFN5qmVyokOt0ATPTaax0Tsj+8pGsTkKmPi+xfl4irbEEDWVXb4D1k48jJU3bNcNoD/TMaCaCpS1eNT[/tex]因此, [tex=0.786x1.0]bKMKqsGNKhrOTRc0JkSyAw==[/tex] 是 [tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex] 的一个理想. 又 [tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex] 是一个主理想环,故 [tex=5.143x1.357]pPB3WJ9hQGNtGBWmHq6h49EjEXVaYU9Y83m+LNoiiH7eKML6oP2IMYEGVV4/GSVJ[/tex]由于 [tex=5.929x1.357]/bTGnObAzenTBheNw0gwocdpFooQBpUbnXaP7l6vqs0=[/tex] 故 [tex=0.786x1.0]bKMKqsGNKhrOTRc0JkSyAw==[/tex] 不是零理想, 且 [tex=4.357x1.357]d//DmICM6azRFzuklVzab7ew8YjGh2oY3gcG1V2YyYw=[/tex] 则假设 [tex=2.214x1.357]DYPAYDhvAaPsOCIahstE+g==[/tex] 最高系数为1 .又 [tex=0.786x1.0]bKMKqsGNKhrOTRc0JkSyAw==[/tex] 中一切 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 都能被 [tex=2.143x1.357]DUDwtYfKfkzOxyD8Wr4KAQ==[/tex] 整除,故 [tex=2.214x1.357]DYPAYDhvAaPsOCIahstE+g==[/tex] 是 21 中次数最低的多项式,同时，它又是 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]在域 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex]上的极小多项式. 再由[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]不可约且 [tex=5.214x1.357]PwFoXtShF0Sx679Gp5C8EEt6F/MonBuz8E94RNykvN8=[/tex]可知 [tex=5.571x1.357]K3m8Vy4z6SbmIuT5P8fmOFiROzvqVyyYCldb1+axJGY=[/tex] 其中 [tex=2.071x1.071]ylxIjCb8KPg7FDX/F0hQSw==[/tex] 又 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]和 [tex=2.214x1.357]DYPAYDhvAaPsOCIahstE+g==[/tex]的最高系数均为 1, 故 [tex=7.0x1.357]HzlxXCympOcKxy1pUiAALLr1nvYz54L/YirmESAqvKs=[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex] 上的极小多项式得证.

举一反三

内容

0
试证如果[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是域 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 上 3 次不可约多项式, [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 的有限扩域, 且有 [tex=4.643x1.357]eed8Jg7I4JHdRcJJqN2T8OnQle8ewodWElR8Eb8Q30o=[/tex] 则[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上也不可约.
1
找一个域 [tex=0.929x1.214]+1wJql5cfr8bn3vbFZ622w==[/tex]使 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 有一个有限扩域 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex], 而[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 不是[tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex]的单扩域.
2
设 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 是一个有四个元素的域，证明(1) [tex=3.429x1.0]fpgDa4+7uingwhfv9kEsYIKlmg303tI2aHaW9E8n3G0=[/tex];(2) 作出 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 的加法和乘法运算表。
3
假定[tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 是模 3 的剩余类环,我们看 [tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex] 的多项式 [tex=5.214x1.5]ZqbXrYp/sJbrNsHKfSV3Tw==[/tex] 证明 [tex=3.357x1.357]69gjjnuSPiok1GkgExzM5g==[/tex] 不管 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex]的哪一个元.
4
令 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 是一个含 [tex=1.0x1.214]7dtpq+Nds2yvk4oPHy1FgA==[/tex] 个元的有限域,证明,对于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的每一个因数 [tex=3.0x1.071]+PTF78Nd5+C95LvA5QbE7Q==[/tex]存在并且只存在 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex]的一个有 [tex=1.214x1.214]KJLx+EM1joQACiFbmjb7Lg==[/tex] 个元的子域 [tex=1.0x1.0]2c2ibAGoy7AWsWeVovUfbQ==[/tex]