令 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是域 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 的一个代数扩域,而 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上的一个代数元. 证明, [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 上的一个代数元.
举一反三
- 找一个域 [tex=0.929x1.214]+1wJql5cfr8bn3vbFZ622w==[/tex]使 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 有一个有限扩域 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex], 而[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 不是[tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex]的单扩域.
- 令 [tex=1.429x1.214]PfhGUWr2cZYLhpTNbeKkNg==[/tex] 和 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是三个域,并且 [tex=4.786x1.071]aV269WLMrsvZHUY1J34EMTwcJYNadrTkAddCQwzefMI=[/tex] 假定 [tex=3.857x1.357]de0U518GY8/7qQK3ZTzhRA==[/tex] 而 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]的元 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex]上的次数是[tex=0.929x1.0]4YXOg6rmHsFEwpxRSup8Rw==[/tex] 并且 [tex=4.286x1.357]THE4th9W3TKqLz/xdNPujA==[/tex]证明,[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 在 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 上的次数也是 [tex=0.929x0.786]lxK7J2TkjjIzWdTjZIk12Q==[/tex]
- 设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是域 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex]的代数扩域，且 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex] 上每一多项式[tex=2.143x1.357]rByUrHVBTQB2C43DbY7ymQ==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex] 上的分裂域都是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]的子域,证明: [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是代数闭域.
- 单扩域定理 : 对于任一给定域 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 以及 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 上一元又项式环[tex=1.786x1.357]K4FsY6VgImZd8wLXRcESkg==[/tex] 的给定不可约多项式[tex=12.357x1.5]fS/Bf/jCTfAXbQL40apxgKNHfzBuPHplzfSwQMHOKjSm7HQ2F1okb+QYZa3nVcpz[/tex]总存在 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex]的单代数扩域 [tex=2.357x1.357]VoicuIRNXuOFNsgOu51kvg==[/tex] 其中 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 上的极小多项式是[tex=2.0x1.357]IpD5lLMNSoOfHDUzqLjOxA==[/tex]详细证明定理中 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 在域[tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex]上的极小多项式是 [tex=2.143x1.357]yJmi2mrkwuEXwLM8VXTLrQ==[/tex]
- 令 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是有理数域, [tex=2.286x1.357]+Tq8vOO7Ka0JrSei6kcgpw==[/tex]是 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex]上一个不可约多项式,而 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 是 [tex=2.286x1.357]+Tq8vOO7Ka0JrSei6kcgpw==[/tex] 的一个根. 证明， [tex=2.214x1.357]QkJlZbkINCA0uoReWtui4Q==[/tex] 不是 [tex=2.286x1.357]+Tq8vOO7Ka0JrSei6kcgpw==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex] 上的分裂域.