作出实数全体于无理数全体间的 [tex=1.786x1.143]6hdPZpBxyYP+didumSY52A==[/tex] 映射.

2022-06-19

作出实数全体于无理数全体间的 [tex=1.786x1.143]6hdPZpBxyYP+didumSY52A==[/tex] 映射.

答案：

【解题过程】 在 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 中取出可数子集 [tex=11.571x1.571]5L4RhecXAPTh0dPsuqU7dAdEZ6kUm17VcsTT7mpfmA8f/X13fWpfQ49yti6CbOOMvWdjPw9zzQNEUbv6Ya5gSg==[/tex] 则 [tex=2.714x1.214]7fvIaohkiTfRb6iN6x2DLA==[/tex] 也是可数集,其中 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 表示有理数全体. 所以 [tex=5.071x1.214]D6tFlReNHdMok3WSf6M/no4wMcz0/NmkhAQv+mTa3xg=[/tex] 因而存在 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 到 [tex=2.714x1.214]7fvIaohkiTfRb6iN6x2DLA==[/tex] 上的 [tex=1.786x1.143]6hdPZpBxyYP+didumSY52A==[/tex] 映射,例如,设 [tex=10.214x1.357]3Kf5aMZbgwP6EXUko4N/5pfi/InxrckeBe98pX0QAg0sUQq6Z9INKmycqRQZHCradn5t6VZPJ7oIv33Q+3e0+Q==[/tex],则可取 [tex=15.857x1.571]dUuX1hfdGXKM49t+ivBPZRE91GtBUr0wSXBxpo1cUsrrLSl30+eL3TbXsX9KV1SphXANZMbZZy0OWL7C0RemqecMat8RBa1Obva+fEoRi87dGNgXdzaQrg+YFROX95S1[/tex]则 [tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]到 [tex=2.714x1.214]7fvIaohkiTfRb6iN6x2DLA==[/tex] 上的 [tex=1.786x1.143]6hdPZpBxyYP+didumSY52A==[/tex] 映射. 令 [tex=11.571x3.357]ACpG7W/lXiEwdW69ASBj859Ak8TdACie7c+Mi6YI8cBBUEcBEKKjPLbNpy6GRZU0Am1k5E5aJrA88Sli6Ym/AHK5y33fK9ftylmNYtbO56VTptnFsPx1TxmaoIINTk3O[/tex]则 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是 [tex=2.071x1.357]a+4Yr47BcJUhss+aauVdUlPl98522hlQ3zOTcxRSidw=[/tex] 到 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的 [tex=1.786x1.143]6hdPZpBxyYP+didumSY52A==[/tex] 映射.

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]Vr8/bn7vNywUFAscsLtCYA==[/tex]为实数域在它自身上的线性空间，[tex=1.357x1.143]rnfL4EF0H6qWg9WB1v+3lQ==[/tex]为全体正实数[tex=1.357x1.143]rnfL4EF0H6qWg9WB1v+3lQ==[/tex]，加法和标量乘法定义为：[tex=4.357x1.286]aFIge72vaMasl4M1lEpRV1XTbSy64QtYH1JxfIK6brQ=[/tex]，[tex=4.214x1.286]bE3hLFZmzVwTwPMZz6RM820Pvf3EpopnJ9x562ctU1c=[/tex]的向量空间。作出同构映射以证明：[tex=0.786x1.0]Vr8/bn7vNywUFAscsLtCYA==[/tex]与[tex=1.357x1.143]rnfL4EF0H6qWg9WB1v+3lQ==[/tex]同构。
1
证明:[tex=2.0x1.357]AUoDsQBgen8/+sL3yGoyYA==[/tex]上的全体无理数作成的集合其基数为[tex=0.5x0.786]EL0hSqs6jZBGdsmH7TMShQ==[/tex]
2
证明由[tex=2.286x1.357]ay6tf6ymcaVAoPQIbN6WLA==[/tex]开区间中的实数[tex=0.571x0.786]ZSLOI4fiO1oAbVC5M8IVkA==[/tex]组成的实数序列的全体作成一基数为[tex=0.5x0.786]rMb348iL2lrN33CF4NFzaw==[/tex]的集合.进而证明由任何实数组成的实数序列的全体所作成的集合的基数也是[tex=0.5x0.786]rMb348iL2lrN33CF4NFzaw==[/tex].
3
证明[tex=2.0x1.357]khGQOVqy3eZik4Tp7/+YjA==[/tex]上全体无理数所作成的集合不是[tex=1.071x1.214]pjVD5/fI0zoDA2FuMdhxCZLoBMcEhDzbvivxumDHITI=[/tex]集.
4
【多选题】下列选项中,()集合具有连续统。 A. 实数全体 B. 无理数全体 C. 闭区间上连续函数全体 D. 坐标(x,y)分量均为整数的点