设[tex=4.857x1.357]042OLQBReUCwoE0Z912z7A==[/tex]，[tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex]的乘法由下面的表给出[img=229x153]17811e22dbb29ca.png[/img](例如[tex=2.214x1.0]tXttL6edfPG0cE2BUa6awg==[/tex])。证明，[tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex]对于所给的乘法作成一个群。

2022-06-19

设[tex=4.857x1.357]042OLQBReUCwoE0Z912z7A==[/tex]，[tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex]的乘法由下面的表给出[img=229x153]17811e22dbb29ca.png[/img](例如[tex=2.214x1.0]tXttL6edfPG0cE2BUa6awg==[/tex])。证明，[tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex]对于所给的乘法作成一个群。

答案：

证 由乘法表可知[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]对乘法封闭。 对任意元素[tex=2.071x1.071]79indwx+EahzN66QC9VPjQ==[/tex]，有[tex=2.5x0.786]xjTqhS4DeJatxcS75sM2+g==[/tex]，[tex=2.5x0.786]KFPdlQrkVR/SeP2sXWFxvw==[/tex]， 所以[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的单位元。 因[tex=3.857x1.0]uWRni6JoA9BwPRZ6mT5Jjw==[/tex]，故[tex=0.429x1.0]MFNb9O03Kg08NVHdCr/E1A==[/tex]，[tex=0.5x0.786]H94ItHP9PspVDDqF8nLRWA==[/tex] 互为逆元，而[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的逆元是自身。下面验证结合律。(i) 当[tex=0.571x0.786]q8alasyJjWIUZHYSwiX65A==[/tex]，[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]，[tex=0.5x0.786]6mof5z2Yc22Ffi9ofyeXGQ==[/tex]中有一个是[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]时，结论成立。 以下设[tex=0.571x0.786]q8alasyJjWIUZHYSwiX65A==[/tex]，[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]，[tex=0.5x0.786]6mof5z2Yc22Ffi9ofyeXGQ==[/tex]都不是 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]。(ii) 当[tex=0.571x0.786]q8alasyJjWIUZHYSwiX65A==[/tex]，[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]，[tex=0.5x0.786]6mof5z2Yc22Ffi9ofyeXGQ==[/tex]都相同时，例如[tex=9.5x1.357]lyT+01hrvQzYe1CMUEKyB8rPoq7Swtkc80t+OFhjoYA=[/tex]。类 似地有[tex=5.0x1.357]4kGt6C9TFalDxCOweE29aQ==[/tex]。可见结论成立。(iii ) [tex=0.571x0.786]q8alasyJjWIUZHYSwiX65A==[/tex]，[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]，[tex=0.5x0.786]6mof5z2Yc22Ffi9ofyeXGQ==[/tex]不全相同时，由于[tex=2.071x1.214]Pv7LBTzARCTG0gnjqz3sYw==[/tex]，[tex=2.071x1.214]OFAx54Mz8N2+rFdu1aMFuA==[/tex]，[tex=4.929x1.0]egcf3vpRj7Ad5+a4HZvTJg==[/tex]，可知结论成立，例如[tex=10.286x1.357]pDCqAVFcRpy85wkK1zCM/RF/9LJIFvFIKWbHveJI+Yo=[/tex]，其它不一一列兴了。 故[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]对所给乘法构成一个群.

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶无向简单图, [tex=2.5x1.143]WHvOziYYJdz0BFGLmQB/8g==[/tex]且为奇数,证明 : [tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex] 与 [tex=0.786x1.143]3go8UcZXyYUwPOwYloc1nw==[/tex]中奇度顶点的个数相等.
1
设[tex=5.929x1.071]gAFI4ZzNAmjFfJAphmTsRQ==[/tex]，若[tex=7.786x1.357]09fTpcwFMVcu1qrv9hyVbjaVP6Nu0Q7b0o9JCaEhfzk=[/tex]，[tex=7.786x1.357]17Fg+KbtgLZdNaerla1J+g==[/tex]，[tex=7.714x1.357]GzWWzGNDry0+/hdju2Gv5Q==[/tex]，那么[tex=0.571x0.786]/uIIzJZ/1DPgc5sOsRpAXQ==[/tex]，[tex=0.571x1.0]Tr41q2//n6lfFMLRmh8s0w==[/tex]，[tex=0.5x0.786]rGd4FFr4Zsu+cuz6gxITMA==[/tex]的大小关系为 A: x<y<Z B: y<z<x C: z<x<y D: z<y<x E: 不能确定
2
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是幺环，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群，则在群环[tex=2.357x1.357]R4s8KmPtyolZZPRaTS8AdQ==[/tex]中有一子集，对于乘法为群且与[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]同构。
3
设 9 阶无向图 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中,每个顶点的度数不是 5 就是 6, 证明 : [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中至少有 5 个 6 度顶点或至少有 6 个5 度顶点.
4
设[tex=2.786x1.357]FjXX3zhvxUYhb/kCMCOvZw==[/tex] 是一个加群. 定义 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的乘法运算为[p=align:center][tex=8.929x1.214]mwVSR6rB8ETCmgrBOZBfKC4aHESn61kUbnYwMS+t5bgAmPHK5UFN6E/t4QuDSXF/[/tex]证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 关于加法和乘法构成一个环.