设[tex=4.857x1.357]042OLQBReUCwoE0Z912z7A==[/tex]，[tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex]的乘法由下面的表给出[img=229x153]17811e22dbb29ca.png[/img](例如[tex=2.214x1.0]tXttL6edfPG0cE2BUa6awg==[/tex])。证明，[tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex]对于所给的乘法作成一个群。

设[p=align:center][tex=19.143x5.929]rZM5/OPAdr7aX+kNl9iwpOu455BiM+AQq2kHgrtqn/mhG4npBOyURxOiVtglnBl5FJ8nEGzVAQxPqYdthqfiMOttujAiMoNpCwY3JikemNe8zL9Nf9Kx0VK9FU3HkzCjY351M3Zsw/FlhM6rg3lkGaJC0vrVqoo5OX2RDchYNNPjvfCZItVp/89wWIF6NnAZBrSV3prmbO5FEN3IcbBotffNLE9BZlztfzzUlf/+daTSSpsy/twJgsguYd8Zu+Sf5IdSao4ip2A/enpzUwVnCB8pn/zllQ8Xy774IfAYdInu+jS/iAd/fx6z5ToxD1eI[/tex]证明：[tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex]对方阵普通乘法作成一个群.

设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶有限群. 证明：[tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex]中每个元素都满足方程 [tex=2.571x1.0]k2IGwlKivCp6HWau8w6/rQ==[/tex]

设二部图 [tex=7.5x1.214]owi8k6PAnrn6UxDb9Vv8U9MLbm7Dtz7QCpysp6HC7zw=[/tex] 为 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]-正则图，证明 : [tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex]中存在完美匹配,其中[tex=2.643x1.143]cfaqtnyliryf7/MzE4dm3ZjOyK4nZ3Dw+cBIlNgbU3o=[/tex]

设 [tex=9.571x1.571]J9rDo0JU0mK8uFkf5jXgkGj0whRGBkHvZ5fDiJ7jo+P9/KBeA/Vds2rlyYN2je/B[/tex][p=align:center][tex=11.857x2.786]aVYX6/IOZGjYjrxJLwfiaz4NPHBVh8h7mttP6uhPOfHJLrwFvon6MewSAWA0wrqEGT0uR06viCWuQ5D0EZQM7OvimmS6O88aORnngoL5sUrwZjZee55TQdEJeczQVQoj79VCOfDVsDDTenJFc9Ls/A==[/tex]证明  [tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex] 与[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]关于加法运算是同构的。

设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]  阶无向简单图, [tex=2.5x1.143]WHvOziYYJdz0BFGLmQB/8g==[/tex]且为奇数,证明 : [tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex] 与 [tex=0.786x1.143]3go8UcZXyYUwPOwYloc1nw==[/tex]中奇度顶点的个数相等.

在万有引力的作用下, 行星绕太阳沿半长轴为[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex], 偏心率为[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]的椭圆轨道运动. 如在远日点行星的速度突然增加[tex=0.929x1.0]sfF6NEFOZ0lEOjuGEwMykg==[/tex](设其为小量), 证明在近日点时行星到太阳的距离增加了[tex=6.214x3.429]ro+ScsllKkqytrmpvIoti4/6p4o0WjDasGOgv8MvJ4IYyT8TwVeZO41lzA8Tgf4p+ls7/rp5xsfBTdvUOPCUYw==[/tex], 其中[tex=3.214x1.0]zI9Hz/zTVIlIiLsBXJCETg==[/tex], [tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex]为万有引力常量, [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]为太阳的质量.

(1) 设 [tex=5.429x1.357]63XbrxME7juP9elO/2D+JQ==[/tex]，若 [tex=0.786x1.071]uETXff//j2ZWAWKKK/gNiw==[/tex] 为模 4 乘法，则 [tex=4.0x1.214]q/cFnDu81CSjYhqvVaqBTA==[/tex] 构成 [tex=2.143x2.429]B4WqE+eQFiKCNwO/N/0owQ==[/tex]。[br][/br](2) 若 [tex=0.786x1.071]+ua1rbfuRSTeJaPcwNcotQ==[/tex] 为模 4 加法，则 [tex=4.0x1.214]2CkZa9zWVqjf3lMBTByShQ==[/tex] 是 [tex=2.143x2.429]KDHpKKzcuy2EtVaD+Pymyg==[/tex] 阶群，且是 [tex=2.143x2.429]XwwezCNP1LdILkmSF3LLJg==[/tex] 。[tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex] 中的 2 阶元是 [tex=2.214x2.429]iiXg+qNsowhzqwKRHiQXSw==[/tex]，4 阶元是 [tex=2.143x2.429]+8tJcF2FvSnxyGBIO3W07A==[/tex]。供选择的答案[tex=2.143x2.429]B4WqE+eQFiKCNwO/N/0owQ==[/tex]：① 群② 半群，不是群[tex=2.143x2.429]KDHpKKzcuy2EtVaD+Pymyg==[/tex]：③ 有限④ 无限[tex=2.143x2.429]XwwezCNP1LdILkmSF3LLJg==[/tex]：⑤ Klein 四元群⑥ 置换群⑦ 循环群[tex=2.214x2.429]iiXg+qNsowhzqwKRHiQXSw==[/tex]、[tex=2.143x2.429]+8tJcF2FvSnxyGBIO3W07A==[/tex]：⑧ 0⑨ 1 和 3⑩ 2