设域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的特征[tex=2.357x1.214]pbc4vZT08gszjwicRtTRnQ==[/tex]，[tex=2.0x1.357]b5RgJKaKKPxfWp6M6XOn8A==[/tex]，试求[tex=2.357x1.143]RXPUuGtyMsNdtHsopW2V8w==[/tex]对[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的群。

2022-06-19

设域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的特征[tex=2.357x1.214]pbc4vZT08gszjwicRtTRnQ==[/tex]，[tex=2.0x1.357]b5RgJKaKKPxfWp6M6XOn8A==[/tex]，试求[tex=2.357x1.143]RXPUuGtyMsNdtHsopW2V8w==[/tex]对[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的群。

答案：

解：分两种情形讨论。1)[tex=2.5x1.286]7zEUCmA2P76oFuZkx0bpGVqRYEmwocz/nFPwyyu6Y5s=[/tex]为素域。设[tex=0.5x1.214]Vos2uWzbU4t/UkVv3Ije7g==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]次单位原根。于是[tex=7.429x1.357]x2mWHzeD6WsMko8A+LpP0M4LjWYKfLhY4YzN+3y0QQzg5h8+gsXbOGXXUbzzQArl[/tex]为循环群，其中[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]满足[tex=3.5x1.357]EW62pqjyjT75xyE8kUG/zGIpN9UuQuJsoonVZwlJsp4=[/tex]，[tex=5.143x1.357]kn5rG9nIOeRc4uEQhEqcHBS+ms9SmsdrDXFLoyjYxjs=[/tex]的阶为[tex=0.5x1.214]Vos2uWzbU4t/UkVv3Ije7g==[/tex]的最低多项式的次数。2) 设[tex=0.786x1.0]Bb1En5P1N75MGEnxTJfAjw==[/tex]为[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的素域，令[tex=5.357x1.357]/ayD233TdjYm3MT/DqtQ6dmPXjMpyPGwsRZ+8qf932g=[/tex]，则[tex=5.143x1.357]x2mWHzeD6WsMko8A+LpP0FNAMwWlmoWfecgjDw4HEzo=[/tex]，即[tex=1.929x1.357]6/ektIO6YBKYidEfmdpgcw==[/tex]对 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的群同构于[tex=2.0x1.357]XXYhaW0y5iPvI0TGffwq0Q==[/tex]对[tex=0.857x1.0]TEOW1ZWgcUfvKa3/a5ThAg==[/tex]的群。特别地，若[tex=4.143x1.357]Jn/mDBW0kSN0gp8ATGIYwangoNbQX2osqSCEWHys6zw=[/tex]，则[tex=8.286x1.357]x2mWHzeD6WsMko8A+LpP0IUlYIXaMQwL5OKdM1sh5uI6pLdLbJw8WQwnPv52kO4XZk4GfkKfRB7PAlFlD8HIRA==[/tex]，[tex=0.571x0.786]KMF8QHqVjNLkn7nK5uaSag==[/tex]如1)所述。

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的有限扩张，证明[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]中存在关于[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的本原元素的充分必要条件是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]与[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]间只有有限个中间域。
1
如图[tex=1.786x1.143]yFYGssZtjHGEZ3VZPnt/+w==[/tex] 所示结构,若力[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 作用在 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 点,系统能否平衡?若力 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]仍作用在 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 点,但可任意改变[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的方向,[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 在什么方向上结构能平衡？[img=256x261]1796358dd0e9d00.png[/img]
2
设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的有限扩张，证明[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是完备域充分必要条件为 $[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是完备域。
3
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵。证明：存在[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个非零多项式[tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]，使得[tex=3.571x1.357]OOyEFi5Qx/r8c8gc6BAiHg==[/tex]。
4
设 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 是可分距离空间, [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 为 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 的一个开覆盖,即 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 是一族开集,使得对每个 [tex=2.071x1.071]Q0LLD7UDggt+6n6MtMqlhg==[/tex],有 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 中开集O,使 $[tex=2.071x1.071]R2zofbATWrNVJHHFVRXc6w==[/tex], 证明必可从[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 中选出可数个集组成[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]中一个覆盖.