令域 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 的特征是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex], [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是F上一个不可约多项式,并且[tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex] 可以写成 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 上 [tex=1.286x1.214]vq4Kig1KYkM6YyCSkSmREg==[/tex], 但不能写成 [tex=1.929x1.286]dj3bkLqCGmFXpY04KhP+Fg==[/tex] 的多项式 [tex=2.857x1.357]p0Lz5ay+tWPi5HPzH56G4K2xqggaQNiIEEtkcea99dI=[/tex]证明, [tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex] 的每一个根的重复度都是[tex=1.143x1.214]95ppOiNOSssN3PRKQMJHIg==[/tex]
举一反三
- 证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].
- 证明：次数＞０ 且首项系数为 １ 的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式 的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
- 试证 如果[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是域 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 上 3 次不可约多项式, [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex] 的有限扩域, 且有 [tex=4.643x1.357]eed8Jg7I4JHdRcJJqN2T8OnQle8ewodWElR8Eb8Q30o=[/tex] 则[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上也不可约.
- 令[tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex]是一个复数，并且是[tex=1.929x1.357]7thWjW6P+ez5FABhuPplFQ==[/tex]中一个非零多项式的根.令 [tex=10.571x1.357]dfaMLEnrsK/r/jBOWWyK8IPNNCJ4SjDEAsV9M4QeBRH5729OMXlz0IvW8JCKNg4N[/tex].证明 :在[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]中存在唯一的最高次项系数为[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]的多项式[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]，使得 [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]中每一多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]都可以写成[tex=3.929x1.357]0/etnSUT6LB053zz4pvNAH+JMSQ3nf3nw2AjS7nNRic=[/tex]的形式，这里[tex=4.429x1.357]1BE0fIYjYXhsL6588ILVDagEkHDl2hQhQQaLAIKpkNM=[/tex].
- 设[tex=1.857x1.357]ygv30IlKHZITi1nzcNJ4yg==[/tex]中多项式[tex=3.714x1.286]VgLe0qw4dAI5uBnknp9bCOFzwtDsITrGVQ9OZlj0zNo=[/tex]且[tex=5.143x1.357]AvE6b9nnWtQKYry+1/2SB1UQcIIDy5c55LzwghBMrws=[/tex]，[tex=0.643x0.786]35ReWWGs/YPu3n9y5K5w7g==[/tex]是一个大于[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]的整数。证明：[tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex]的根只能是零或单位根。