有理数加法群[tex=0.786x1.214]Ye1cZVdr8VtT4RAHi8JqTA==[/tex]不是循环群,但它的任意有限生成的子群都是循环群.

2022-06-19

有理数加法群[tex=0.786x1.214]Ye1cZVdr8VtT4RAHi8JqTA==[/tex]不是循环群,但它的任意有限生成的子群都是循环群.

答案：

设[tex=2.786x2.143]SGH7L3xzHk1FfJufJqXZcDbOA4TJqkUj7YxRVBc6uPU=[/tex].取素数[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex],[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]不是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的因子,则[tex=4.143x2.143]rCPC7WfJnW67fNfXc7794d4iLfSnAXUPNYGT5II/bi+s4r/b94F1bkxsMHAnDYD3fVEqFh5fcFFOZZaPYNNA5w==[/tex].这表明[tex=0.786x1.214]Ye1cZVdr8VtT4RAHi8JqTA==[/tex]不是循环群.欲证[tex=0.786x1.214]Ye1cZVdr8VtT4RAHi8JqTA==[/tex]的有限生成子群是循环群,由归纳法只要证由两个元生成的子群是循环群即可.设[tex=5.857x2.786]lK2lBtkczBAzKa9JdXJ6r9XCFWxjFbrbeFB7vmkNn/5hxSPYWsfthcaQvoVBMZdyfziM5/MkYlr4/uJ9RB0tlQ==[/tex],令[tex=4.857x1.357]6hJp084DmCflsF1xFtLUlA==[/tex].则[tex=6.429x2.786]ng3+kblYEIeTceFGqE7Po083xopclgGzkhozCW5CyuHCSBu2SqPTKrj4+PurEJZVRWQlYinybEcdixGVcNZ+O+NiCbFSJF+BYvMEXZWaDUI=[/tex],且[tex=10.357x2.786]SGH7L3xzHk1FfJufJqXZcJ7OjE0HHoKX/lE6uCh7aKYpC3nVc9I++Ii3uECBP/6v0pEww1c/Wz9DLkrrTFzO1wZ++GXJDw2gde3u8leLTemHf0EPSazruLeMvbT+uEB3F8ZTHtGP7yGdkgG2y3MYRBGdo3/hlJvOtFAwOZBhL7g=[/tex].故[tex=4.643x2.786]lK2lBtkczBAzKa9JdXJ6r3+MKPfTiQztqyZb+AJOQv66j1KXs1JYPGhiVYYPpzFW[/tex].

举一反三

内容

0
证明有理数加法群[tex=0.786x1.214]df1kVTV2Lcd0WNrDTlR4+g==[/tex]和非零有理数乘法群[tex=1.214x1.286]KN2i6nVQ/0jlnl1A4zawypeZgBprYR6XivCk9jrm2x0=[/tex]不同构.
1
以下哪些是8阶循环群a的子群？（） A: {e} B: a C: a的4次幂生成的群 D: a的2次幂生成的群
2
设[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个元素。令[tex=7.071x1.357]duPa6DzdXEP/IkA8w22YsRIJpiApMOuc2tIiiX1utUBRndTamosI3MA8KgnaswoZaa+HIEQDLnt+rWDh28uFXg==[/tex]。证明[tex=1.357x1.357]UMu6yZaqu6lAbCVsfR7R0Gd4uDjR1gRFcqTenXrRKBI=[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个子群，称为由[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]所生成的循环子群。特别地，如果 [tex=2.929x1.357]R69oP1O5tGxNy/rzgfmU9zkgKJqJcKsevy1zqQYvMIw=[/tex]，就称[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是由[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]生成的循环群。试各举出一个无限循环群和有限循环群的例子。
3
以下哪个群不能同构于S_6的一个子群?() A: 2阶循环群 B: 3阶循环群 C: 8阶循环群 D: S_4
4
以下哪些是8阶循环群a的非平凡子群？（） A: {e} B: a C: a的4次幂生成的群 D: a的2次幂生成的群