设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是唯一分解整环,[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的分式域, [tex=4.429x1.357]rY/lUAhmwPO+6lpLOBzEag==[/tex] 和 [tex=4.143x1.357]kXgGxCkXj3nQYhKZVzXepg==[/tex]的首项系数都为 1, 假设在 [tex=1.929x1.357]LvgbK12lxuuUi3aOakladA==[/tex]中 [tex=4.5x1.357]U6R4KZ/ZA1xG3kNTBBaoT+FoCalf1qdbw+cLi+CQZSk=[/tex], 证明: $[tex=4.714x1.357]OGArpVea1+mttUDf3ORMwAt8EGGbJ4clJ4oo9trKs8U=[/tex] 注 题中不必假定 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]的首项系数为[tex=0.786x1.0]ycpt7/PpiATqHUACAPCXCQ==[/tex]
举一反三
- 设[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]是唯一析因环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的分式域，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]中的首一多项式，又[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]是[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]中的首一多项式且[tex=4.5x1.357]tBZYcFY3CZI2ZZwP4Yrihw==[/tex]，证明[tex=5.0x1.357]S4Nx9kL7+wdxiJdQrftO5w==[/tex] 。
- 令[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]是有理数域，[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环，而[tex=0.5x1.214]xOiZa9kFnjYeHB3PTbO+3w==[/tex]，[tex=0.5x1.0]UbT28aXDvTWZW6irh3Kvgg==[/tex]都是[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]到[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的环同态。证明：如果对于任意整数[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]，都有[tex=4.5x1.357]+cLrjC9LscrQ+OsU1giEkw==[/tex]，则[tex=1.786x1.214]4//x2WU4DJz0oKslLGjIog==[/tex]。
- 证明定理：设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元的环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的一个未定元.(1) [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的零元 0 就是[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的零元 (即零多项式);(2) [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元就是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位元;(3) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子环, 则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是无零因子环, 且 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位就是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位;(4) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环，则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是交换环;
- 证明：次数＞０ 且首项系数为 １ 的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式 的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是交换整环，[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的分式域，[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]是[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一元多项式环，证 明[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上的一元多项式环且[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]与[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]有相同的分式域。