设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元 [tex=3.143x1.357]BwybrwuFYErsCAQCXkFyKQ==[/tex] 的环, 对于 [tex=2.286x1.214]SCTN5cCAZwQwtexbANDc8g==[/tex] 如果存在 [tex=2.143x1.214]MZTFub2B+s3YbGewIdydwQ==[/tex] 使得 [tex=4.286x1.214]NV1D0gBzpe77ylNh7rrBPA==[/tex] 则称 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为可逆元( 或称 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为单位, 注意不要与单位元 [tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex] 混淆 ), 称 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 是 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的逆, 记作 [tex=1.786x1.214]fANTqBtpXRtjjxA/FVe/Qg==[/tex] 证明 : [tex=2.0x1.357]beH6DnGK6LEsYI2cIHxhuQ==[/tex] 中一个元素 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是可逆元当且仅当 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是零次多项式.
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个有单位元的环. 如果[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中元素[tex=1.286x1.214]rkgrF+YaaESwSQDjR6KfWg==[/tex]有[tex=2.286x1.0]rZ0c/DqUwOwC6KLNVAW7uQ==[/tex]，则称 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]是[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的一个右逆元，而称[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]的一个左逆元. 证明卡普兰斯基(L Kaplansky) 定理：若[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中元素[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]有多于一个的右逆元，则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]必有无限多个右逆元.
- 设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=1.857x1.357]VmBbVJMXt2JXSfX9IcTKCw==[/tex]中的首一多项式，[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的一个有理根，证明[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是整数。
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的交换环, [tex=2.286x1.071]BX5Hq24pv20xx1ImfWhlnQ==[/tex]证明: [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是单位当且仅当 [tex=3.143x1.357]UMu6yZaqu6lAbCVsfR7R0AeXbqkMKrtmkRynShNa3mw=[/tex]
- 证明：设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的代数元, [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的一个首一多项式, 则下列条件等价:(1) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 在域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的极小多项式;(2) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上不可约, 且 [tex=3.429x1.357]+nzvPBU74mdetNBw41Ue1A==[/tex](3) [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的次数取小的非零多项式;(4) 如果 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上任意一个以 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为根的多项式, 则 [tex=4.857x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXzDDg/gxGAj+UD6ur3wtHjE=[/tex]
- 设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是有单位元环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 中的一个可逆元，证明[tex=1.357x1.071]8yCwfz9DDtEtAlvOBd+Hzg==[/tex] 也是可逆元， 且 [tex=6.071x1.5]oiuwd+L46nf4K9wnrs8yJpYIcX6RhmujF1kSw3uHa1c=[/tex]。