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  • 2022-06-17
    在第一象限内求曲线 [tex=3.571x1.429]9XJRnUCrj1gseCVixk7Trw==[/tex]上的一点, 使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围 成的图形面积最小,并求此最小面积.
    • 设所求的点为[tex=2.857x1.357]ckczIdmQJg3icGPkJfgw6Ij3HDfjZLfGrAW4F50TO2Y=[/tex], 则有 [tex=5.786x1.571]UHTyjMBYwFmhYt+uhSDHn5XhNCWRMsYL7iNR5gcf7OyX2UlgbL5cKqwEYHeIk4gb[/tex]. 所以过点 [tex=3.0x1.357]ckczIdmQJg3icGPkJfgw6OpmVx1u+t3p5Li8jTnnOO8=[/tex]的切线方程为[tex=8.357x1.357]ovxALuha/TT93L317oAHdlBwqe6fr4waVII64nqSI7Yb2g1M1TSZBuFYD2hlDUmn[/tex].令 [tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex]可得切线在 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]轴的截距为 [tex=3.5x1.5]Dh97BODS7HMhb+6KMNKzlA==[/tex], 令 [tex=1.786x1.214]LxzV0lHNWl1Oblvb2+onBQ==[/tex]可得切线在 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴的截距为 [tex=4.0x2.643]OWmRQLHKHQAhQbkcta4PdqH+w3hkb+eWT3NHI6uX3/g=[/tex].于是所求图形的面积为[tex=23.5x2.857]EpGpw2J6sJqYzL8nbDF5vsD+XAyBb9oFwwrEeTunSCeWGdHTeMZx7kSLuLzo5OVi+pu5qt/prB6ianBKMDzkX4AxlWLlb8CSgNbrtv/Raj286p5VzMxC/jNKHz8AaZJCI66gVeUY/q8MDXOl4GzH4UcG0KWkewwh3J49BKej5OLp0wTHlMhuAoC+pBZupl61+lQtyfpBCIFQXJ2384n2Kw==[/tex]令 [tex=12.643x2.786]CWMR3cIYzEPHR3SuB5yU7+csq8wZ0MGp+6+a9uu3d06y82e8uVKtXYKXUo5Ae+xHJIcJ+BFpV+B7ET/0H2o9Hb4MsMBwFlajLPTOG4rLXNedvUYtX36r7YfHX2J3LMs+[/tex],  得 [tex=3.5x2.643]7jBNQt2yk7VeyVocJ0IOiBaGeo6PXMPcsRVb7jAdgYc=[/tex] . 又[tex=19.429x3.214]WvB+9oAFGKvbju3okI4QFbuVGGIVq0l9w9cG6Xgtw3R+3Okp8q+yTq/8IKkGM8uvjWwuzOLd6XpL96OHf858DBTKOgNZZYgj9VWdFpFJNfcCe5Sdhh9KBvF590xU+CGUyj4uWxn0M5jhSDz82SNYrMtR1+SqZIb0Ol/e0MvUJcqZEGbf6B9QEgQPerFzn3/W5BPPg0fyQaINlPLWXvZzcrvKmBzh4gzwzUNr5Mcl99DNoZDIObMV7SOZ47jeksg7[/tex], 所以点 [tex=4.5x2.786]5ipjI0CM2ngAbGND1jDprGGCWTOTrEu5/Gj/eLMU0gTnp9EcejtmMNUf5dlDD8WI[/tex]为所求, 此时面积为[tex=9.857x2.786]+D6PK60T64l/Iyml8T0Re5potgDVd4PzLoFSAqPvpBIwgKJYlafYVrbIHtM/ixCKLkSb7Sq/WuDykqWGYq0s2gf+yroqPsTAumgffEzT4Oo=[/tex].
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    举一反三

    内容

    • 0

      求曲线 [tex=3.071x1.214]MBM6FkRKhubflZJqDSdnSQ==[/tex] 在区间 [tex=2.286x1.357]zCsuZTaO33U3U4RY2NCDYQ==[/tex] 内的一点,使该点处的切线与直线 [tex=1.857x1.0]X7etWab1J10Xwqu65uIXXQ==[/tex] , [tex=1.857x1.0]bvdUpGWc0EcU/DGmya68GQ==[/tex] 以及曲线 [tex=3.071x1.214]MBM6FkRKhubflZJqDSdnSQ==[/tex] 所围成的图形面积最小.

    • 1

      [1990 年 2] 在椭圆[tex=6.714x1.5]b7FHaGacQFxlkJooNN/1QqCEHOyMjmYszYEQ4C2RVd8=[/tex]的第一象限部分上求一点[tex=0.857x1.0]fqqgtXjxaAvBmTcUizivOQ==[/tex]，使过椭圆上该点处的切线与椭圆及两坐标轴围成图形的面积最小，其中[tex=2.429x1.071]Rgnw6H9bxYi8lkJDrClV2w==[/tex]，[tex=2.286x1.071]kC2x2JMcuUq4yFIxA965Ow==[/tex]。

    • 2

      求下列曲线所围图形的面积：[tex=3.571x1.429]yehFa0BRwbxiC0rDS+6dYw==[/tex]与[tex=3.143x1.214]AlHQLOmNaMoEWV1SHsPOlQ==[/tex].

    • 3

      求由x轴、曲线[tex=4.071x1.429]hl4JpLynrxmqrmVdtohNfg==[/tex]及曲线[tex=4.071x1.429]hl4JpLynrxmqrmVdtohNfg==[/tex]过原点的切线所围成图形的面积, 并求该图形分别绕x轴与y轴旋转所得旋转体的体积.

    • 4

      求由下列曲线所围图形的面积：[tex=2.286x1.429]f0KdLlH9l+9WWJPSEUUoew==[/tex]，[tex=3.571x1.429]IfSo6jez8EmoVEIxPb9lsA==[/tex]