设A为n阶实矩阵,证明:若对于任意n维实列向量a,有a^TAa=0.则A为反对称矩阵
矩阵A=(aij)由于对任意的n维实列向量a成立,所以要在a上面做文章 令a=(0,……,1,……0)(a中第i个元素是1,其余的是0),代入可知aii=0 令a=(……,1,……,1,.)(a中第i个和第j个元素是1,其余的是0)(i≠j),代入可得:aii+aji+aij+ajj=0 aii=ajj=0,故aij+aji=0 所以(aij)+a(ji)=0 即A+A^T=0,A=-A^T 从而A是反对称矩阵
举一反三
- 下列命题不成立的是 A: 设A是n阶矩阵， B: 阶矩阵B，有AB=0，则A=0． C: B．设A是n阶矩阵， D: 阶矩阵B，有BTAB=0，则A=0． E: C．设A是n阶矩阵， F: 维列向量ξ，有Aξ=0，则A=0． G: D．设A是n阶矩阵， H: 维列向量ξ，有ξTAξ=0，则A=0．
- A 为n阶对称矩阵，且对任意n维向量X ,都有,则 A =0 。c70c250c498c857e72c0b616d6e8a447
- A为n阶对称矩阵，且对任意n维向量X,都有[img=149x46]17da6a77863217d.png[/img],则A=0 。
- 下列说法错误的是___。A.()A、B为n阶实对称矩阵,若存在n阶可逆方阵C,使得(),则A()与()B合同;()B.()A为n阶实对称矩阵,且对任意n维向量x,都有(),则A=0;()C.()两个n阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩;()D.()实对称矩阵的秩r和符号差s具有相同的奇偶性
- 设A为n阶方阵，若对任意n维向量X=（x1，x2，…，xn）T都有AX=0.证明：A=0.
内容
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设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=（）。
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设[tex=0.643x0.786]SPoVA3bJlgfP9Ek9O4AbuA==[/tex]为n维列向量，A为n阶正交矩阵，证明：[tex=5.5x1.357]xYuMzbIz7oB2um8uggcMhKQNSH1NB4fwfxMceOMK6Osyr8mpdoUDSVF9aJhIWphujoDYIrAPEZ9MZ60DMNIH6atxbW1JlcBHj54ekICQnV4=[/tex]
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设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：(1)若|A|=0，则|A*|=0；(2)|A*|=|A|n-1．
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设A 为 n×n 矩阵，且齐次线性方程组 AX=0 只有零解，则对任意 n 维列向量B，方程组AX=B（）
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青书学堂: 设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则矩阵AB+BA是反对称矩阵;( )