设Y是拓扑空间X的一个子空间，[tex=2.5x1.286]eE5MadPLJiAKqfDF0T7eGg==[/tex]，证明：如果L是X的一个子基，则[tex=1.571x1.286]Kzx1vlQmylEt2nofDvFV/A==[/tex]是Y的一个子基。

2022-06-19

设Y是拓扑空间X的一个子空间，[tex=2.5x1.286]eE5MadPLJiAKqfDF0T7eGg==[/tex]，证明：如果L是X的一个子基，则[tex=1.571x1.286]Kzx1vlQmylEt2nofDvFV/A==[/tex]是Y的一个子基。

答案：

设G是Y的开集，[tex=2.5x1.286]nPyb/Zc55bjZswTOVgxSQg==[/tex]，则存在X的开集U，使得[tex=4.714x1.286]iElYO91RYfzIz/m0BkvtUw==[/tex]，因L是X的一个子基，故存在[tex=7.857x1.286]bkcKwVxTnSt1r+0KzYD8FrIPE0eM+zEf1maq9orcwkVYJOEdDN/sW0GXEiTCFOp4[/tex]，使得[tex=11.571x1.286]0ZaeJLuUxfvEtgehhQpEIrxcmV4mt3F2O1kUXBn9ZFchESJvgV4B9XR1UzDn8A8EmlGLx2+HjQqEkAZJ6laOiQ==[/tex]，于是[tex=12.429x1.286]U9UjVZ7//wwCSH55avc6NC5ebM0+E3zARo3xENnqoNIB03ydMJAXBbVYRq5BSv8bcNwOpiVkhSmOU40N59kiLRXf4/TLXwgXJ3J8eUkgOFA=[/tex][tex=10.571x1.286]BBSRokUV7PgG9IxUErJc/6qUe7FYt7Ow5EIq2o50YqxT7a4eIOp37Tm82RHVWRWqirkazTWoSkofXkZxXX73LA==[/tex]，这表明[tex=1.571x1.286]Kzx1vlQmylEt2nofDvFV/A==[/tex]是Y的一个子基。

举一反三

内容

0
设[tex=4.429x1.214]wdHwRVgwC7JparTaLH/Q2vH/V2im91ju8tzz2wt+Roc=[/tex]是向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]到[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]的一个同构映射，[tex=1.0x1.214]Gyk9oZZNuuqd3a3TjbH+bQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间。证明[tex=2.429x1.357]YrkV0/qOeegIRB3IehV7HgVgW3nV/pANLcX/DE49WN8=[/tex]是[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]的一个子空间。
1
设X和Y是两个拓扑空间，[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]是连续映射，证明：如果[tex=0.786x1.286]YmC97Clv6J6k2IyNV61eAw==[/tex]是[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]的一个连通子集，则[tex=2.143x1.286]lYyNPJbhUCYK1wTeekhvmA==[/tex]是Y的一个连通子集。
2
在集合[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]中给定一个子集族[tex=19.143x1.357]d918judtxp5/KNITOayX7ttYV65WSq87z4GImqp/bUHVZHYskx4puVZgTafsyev7wiWM3LBddPUzxC9Imngp4Y8Ge4w3t2EUIQdCxncBMlMiiZ95+ivFt5FlfGEAXwVj[/tex]验证[tex=1.286x1.214]QhBrqZ0FU+twtxjFFi5vxvnG10FFS5WsLXGF/Hpdxzg=[/tex]有唯一的拓扑[tex=1.143x1.0]5EeoPXNdbULZC7oxMFoDnh4YQNDKibeVT7J/blr9eWU=[/tex]以[tex=1.071x1.0]lLbu2XDTlf5JDrin/vFH+qIHMVCPAxDFd8hEyua/n4g=[/tex]为它的一个子基。令[tex=11.071x1.571]yb0DHGdEEjE6ZBzQSdX+nVHb3VOrRVuFGQE+axN2AFx4yWW4gtgkv2W7ecSU63FjD+WyUN+4TSnl0LQ7ka2SAQ==[/tex]问[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]作为拓扑空间[tex=3.5x1.571]QyjN4PEoUsC42ms94ZYXqk7V1b3k0v4mc46DLR287NlXsAZkvhX1qFKMCPliKPQW[/tex]的一个子空间时有什么特点？(提示：证明拓扑空间[tex=4.357x1.357]D/1hbzEY3//Xp0+MQ4PL8dzCYQXq7O1dj1nYZTf+70k=[/tex]是一个离散空间。)
3
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]维欧式空间[tex=1.214x1.071]tAD8CvpOZvPSkkO+khSESQ==[/tex]中的一个子空间，给出[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的一个具体的可数基。
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设 [tex=5.714x1.214]lZfcRDOHT43TyAqQoLZlW8UiH0GFLj08pVPZaN1Dbiw=[/tex]是线性空间 [tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex] 的 [tex=0.5x0.786]ICKY+F5VdoSQrRn/wUUOyw==[/tex] 个非平凡的子空间,证明 : [tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex] 中至少有一向量不属于[tex=5.357x1.214]lZfcRDOHT43TyAqQoLZlW6NOFio2Pds294Bv4ocg9JA=[/tex]中任何一个.