设Y是拓扑空间X的一个子空间，[tex=2.5x1.286]eE5MadPLJiAKqfDF0T7eGg==[/tex]，证明：如果L是X的一个子基，则[tex=1.571x1.286]Kzx1vlQmylEt2nofDvFV/A==[/tex]是Y的一个子基。
举一反三
- 设Y为拓扑空间X的子空间，[tex=2.857x1.143]NVnyOfFr6g+52w3PWMWtUw==[/tex]。证明：如果A是X的开集，则[tex=3.214x1.357]A5fpx1grvjGXknKAptjZSQj/Uched02zngkQag+eknY=[/tex]
- 设X是一个[tex=1.0x1.286]rIp/+zQfCOBqyYIT+1a8eg==[/tex]空间，证明：如果X有一个基只有有限个元素，则X是个只含有有限多个点的离散空间。
- 在集合[tex=1.143x1.286]TI7jqqDiM1RJHIUxyvKDvg==[/tex]中给定一个子集族[tex=8.143x1.286]FWamcVClPpN+Ld8LPO/BqR4EAGDUmXoI7y5rSACBATE=[/tex][tex=11.429x1.286]DhoRjqpNX8/OzctP/3dfmbhl0v48RJrDTbEFaed4h9ThVLnKn7SoMI6rbI/D7cLS[/tex]，验证[tex=1.143x1.286]TI7jqqDiM1RJHIUxyvKDvg==[/tex]有惟一的一个拓扑T以L为它的一个子基，令[tex=12.571x1.286]LLTNA0nqFgg2QEP1b/hTsnoEH+iy42uJa7S4gH+24cnUW4M/92X6pUbszwQUTSi48a1XmGc1qtHpKBoN1QibFQ==[/tex]，问A作为拓扑空间[tex=3.071x1.286]8VbnnXzlgELxGXIoBc+aDg==[/tex]的一个子空间时有什么特点？（提示：证明拓扑空间[tex=3.5x1.286]s6jYf1VhkH379fRC2NAbCw==[/tex]是一个离散空间）
- 设X和Y是两个拓扑空间，[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]是一个连续映射，证明：如果Z为X的一个连通子集，则[tex=2.071x1.286]4Z9CM7uE3guEK2sbbmjgzg==[/tex]是一个连通子集。
- 设[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维向量空间[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]的一个子空间，且 [tex=6.571x1.071]ZyqBa4JfWRPKusGwA3PAKqa8sjPrakad+dZGuQBTVus=[/tex].证明：[tex=1.0x1.0]97Y4VMFIqE7cl6MEqnCpuw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex]中有不止一个余子空间。