设 [tex=21.286x1.286]Lfv/gig/RBT6hFU4FG5bymgPF9G2FOJCoVXgo9a1/kRPNXDtUoLRGU33eGCoZXk5ZETCL971uldnxuG2HdARMxlbpVoT9B1JWTAAyKu53XY=[/tex] 其中 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是实数集合，[tex=0.5x1.0]Sc0he7miKB3YF9rgXf2dDw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]上的函数数复合运算。a) 证明: [tex=2.357x1.357]vBe1xJNANGrxuDQ3d4WKhtGe9sGcpOd711xW+bCebfA=[/tex]是群。

2022-06-07

设 [tex=21.286x1.286]Lfv/gig/RBT6hFU4FG5bymgPF9G2FOJCoVXgo9a1/kRPNXDtUoLRGU33eGCoZXk5ZETCL971uldnxuG2HdARMxlbpVoT9B1JWTAAyKu53XY=[/tex] 其中 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是实数集合，[tex=0.5x1.0]Sc0he7miKB3YF9rgXf2dDw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]上的函数数复合运算。a) 证明: [tex=2.357x1.357]vBe1xJNANGrxuDQ3d4WKhtGe9sGcpOd711xW+bCebfA=[/tex]是群。

答案：

证：a) [ 1][tex=0.5x1.0]Sc0he7miKB3YF9rgXf2dDw==[/tex] 运算关于[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是封闭的 。对于任何 [tex=3.429x1.214]j9lKrbRVE/GIjov0JwWV5MJb3b8ycf+P/n+V2pJZNPQ=[/tex] ,[tex=2.214x1.214]N2yxH91rI81A0mUHjeCduKMrEFj5szXxcc2NuzGcG9g=[/tex] 是函数的复合，因而运算结合唯一。对任何[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] ，有 [tex=6.0x1.357]IA5q1f4UzrIo0PtEdOgubiZTqqOuUWrv2/XGtI6Oqc8taaYLz4ab4CspVrv/fEm5[/tex],[tex=6.0x1.357]gSeWF/a4AJNkvPMgFJUyF/oO0CV0gy9bA/sg62tYpGs=[/tex], [tex=5.643x1.214]g2Pnt1xYWNibUzu/2zbh1UR7LW8i+jgLQn1d1+O+/h5pW994eyhcI7HypWd0ygRF[/tex] , [tex=2.714x1.214]9ZSITX29pVqTjaYVoJCAtA==[/tex],[tex=2.714x1.214]viVhCx3QplfzuKAiXT/ocw==[/tex] 于是[tex=20.071x4.214]+ozYiNEoyT1Hd0QZdueHbw5Do5V72tREnMHPy6HeZGjlg34nSVLBa6rIuxE4t1/D+fEZK70ENFhRoAZQZuF47pDRLatXAUxfNz4HU+SkY6RsFcUJuIp+8KGcTpHpBuNc6PSZaSMsOOPPBLJ/eYZ1VAgR+0weH1sI2DxoKFwPkvoheuOJ7LLvpeo9oryM1hXhDlfl89yMqyRDbcqskjwWvVceI+R4tz9X/LJaV11DfdJKziXCs44X3HIqXrTjNa3Qhtx5PC0frMUowvG48XVoPA==[/tex]由于 [tex=7.0x1.214]TPxuG36QyRCFRADpZg5WR5jcPzgCeMTUKEfNkaMSTk/b6jDeOdHzoeFf/0XmUuT2[/tex] 且 [tex=3.643x1.214]CnbtypAVeeMA8n2WNlz/RjLxcYOQ+TJk0NWtz4N4E1g=[/tex]  故此 [tex=3.643x1.214]oqTCGMymK7x88MNWEVcM82yvssFBoLodcJp0MH3t6nI=[/tex][2] [tex=0.5x1.0]Sc0he7miKB3YF9rgXf2dDw==[/tex] 运算在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 上是结合的。因为函数的复合运算是结合的。[3] 幺元为 [tex=3.143x1.357]X+NbvWJpBVFSPar4lqpf5w==[/tex] 。由于[tex=4.571x1.214]zC7tjLEc5cXy+M4+4JpCEP8t3MctfVrEyeVp+o+iFQo=[/tex] ,[tex=2.214x1.214]Sy/qXGmCrNKDYDZ6ar62Hw==[/tex] 故 [tex=4.643x1.357]6x9bH2t+0e2Bde/Sw8FvY+IV1ASPY9K851R+zrUTByA=[/tex] ,另外对任何[tex=2.0x1.214]wk1qjViVAi/8hnj/tF6MHQ==[/tex] ,显然有 [tex=5.214x1.214]PJ3PxyQEZvR77x9yoiHAZG3RVEJxaPLMMyXdUZP/aY0=[/tex]所以[tex=1.857x1.357]PO6jdnk22brMeDjSSDwmuQ==[/tex]为[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的幺元。[4] 对于每个 [tex=2.0x1.214]wk1qjViVAi/8hnj/tF6MHQ==[/tex] , [tex=0.5x1.214]81wDP6XYP34fq+iLgLa6Sg==[/tex]的逆元 [tex=3.0x1.429]iZecPNumJvSGnS6lIXVl/g==[/tex]存在。对于任何 [tex=2.0x1.214]wk1qjViVAi/8hnj/tF6MHQ==[/tex] , [tex=4.929x1.357]+STBY+8ASYILuggxFPDPlA==[/tex], [tex=2.714x1.214]nnk+3jD388JeeX4gorBoBg==[/tex] ,[tex=2.429x1.214]whrA0fswgExqGZH3sbR6mw==[/tex], 其逆元素 [tex=7.071x2.429]j911YLQm6REYyf3ChUXYgva2daJz0aVdPkL5+1qVSngDdmN+dIa3KNJHotmLkEBF[/tex](显然 [tex=1.429x2.357]YQ2xa+oFA1+v+rh/qLRZVsRa4tQ03fatwCOjsYBFRUc=[/tex],[tex=2.429x2.429]Xh9R3XVJdybNPYe+Oeo0R+5f/VIeM25ArdFiX8VOXcU=[/tex],  [tex=2.643x2.357]/miN+r0jWP1pRWAfCRDwka3Ktym7/6KsRwUbNR4LqO0=[/tex] ） 属于 [tex=0.786x1.0]4swj+MXBfXw/BCBdKDogfg==[/tex],很容易验证[tex=7.0x1.429]bhr0kkYMEDrzFq8YVkr0e7QBlT1hrXYMg7PwCbtZxkU=[/tex]因此[tex=2.357x1.357]vBe1xJNANGrxuDQ3d4WKhtGe9sGcpOd711xW+bCebfA=[/tex]是群。

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是阶大于 1 的有限[tex=1.286x1.143]dfo7Luu7aP3ByE9/wuHBXw==[/tex]群. 证明: [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的中心[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]的阶大于[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex].
1
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是幺环，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群，则在群环[tex=2.357x1.357]R4s8KmPtyolZZPRaTS8AdQ==[/tex]中有一子集，对于乘法为群且与[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]同构。
2
设[tex=5.214x1.214]l2vYijvwphpA0Bdo8olvNhKvOVd4RCELKut0jj6S5qs=[/tex]是连续映射，Y是Hausdorff空间，证明：（1）集合[tex=9.357x1.357]QCqopxinhs+TvVYgLw48vVpO4x/Rie4gzAlmw62rJGM=[/tex]是X的闭子集；（2）如果A是X的稠密子集且[tex=3.714x1.357]fo4X83uQk0aLKgSpBjpSMw8oj58YdJ5bCiu5d4gfWQqZvgjwV7CYEcyqXJHmRmoq[/tex]，则f=g。
3
令[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是实数对[tex=4.857x1.286]MwJkkSCZaP5CPhGkF4cg+DM88nv47A2lROcjMtitZhQ=[/tex]的集合,在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]上定义[tex=9.643x1.357]ImxnGr+lPngxnUoqv+nNi9BhhcWLuZ7iuUb/XHvB2r8=[/tex].试证[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群.
4
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是非空集合, “."是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]上的一个代数运算且适合结合律.(1) 证明: [tex=2.143x1.357]kEczID9Pt4ItYwOqbKjMvA==[/tex]是一个群当且仅当对于任意的[tex=2.857x1.214]sSIApBg6OzoLyhTiB5OMxw==[/tex], 方程[tex=3.071x1.0]Qlnl7DNF35MBGJR2KizZiA==[/tex]和 [tex=3.0x1.214]ZCfK1l3RDW3KGNtluzrejw==[/tex]在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中都有解.(2) 假设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限集, 证明: [tex=2.143x1.357]kEczID9Pt4ItYwOqbKjMvA==[/tex]是一个群当且仅当“."适合消去律.