设三阶实对称矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的各行元素之和均为3，向量[tex=7.571x1.286]Pp7l96OcgHRg9IqOljoeP/+pC++ZsB3SJXFnfjsvQG6RuQuO+GDMyTfKSAXCAenN[/tex]，[tex=6.214x1.5]VAlAcHxv3I2v41KQonZHP9qlMBgVf3lPlii4AmU4/uY=[/tex]是线性方程组[tex=3.357x1.286]zkPgnv+RxmjUpziLKbhcsw==[/tex]的两个解 . （1）求[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的特征值与特征向量；（2）求正交矩阵[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]和对角矩阵[tex=0.714x1.286]6GaLCkpufqH4y+Zpjb+RIQ==[/tex]，使得[tex=4.357x1.429]42wWZkrxVuMRs4+YhE8J5Q==[/tex] .

2022-06-09

设三阶实对称矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的各行元素之和均为3，向量[tex=7.571x1.286]Pp7l96OcgHRg9IqOljoeP/+pC++ZsB3SJXFnfjsvQG6RuQuO+GDMyTfKSAXCAenN[/tex]，[tex=6.214x1.5]VAlAcHxv3I2v41KQonZHP9qlMBgVf3lPlii4AmU4/uY=[/tex]是线性方程组[tex=3.357x1.286]zkPgnv+RxmjUpziLKbhcsw==[/tex]的两个解 . （1）求[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的特征值与特征向量；（2）求正交矩阵[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]和对角矩阵[tex=0.714x1.286]6GaLCkpufqH4y+Zpjb+RIQ==[/tex]，使得[tex=4.357x1.429]42wWZkrxVuMRs4+YhE8J5Q==[/tex] .

答案：

[b]解[/b]   （1）因为矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的各行元素之和均为3，所以[tex=5.0x3.5]/Rg67lbMGWniRJG6lPn2FPwJ6kNqnwOD7i1D4IswQDOJFbD5rnRy+ncXsNo1s0lU488Tn00t2+fwP9bQ9THRcA==[/tex][tex=4.071x3.5]075gCzZzsMRb6HYXYk9X91QtwcNDHCVCLphMmGtfzPyZl4NJDHa7DpS4bv6N0CkEe+/O399Wqu/64naTNnp/cA==[/tex][tex=3.786x3.5]IPwed9odQulOmQ7srHqwAt7i5agmyMq3hhKrAU2DzgbRTuhVmiCmg8VU0kRux452LfwgywIgGeCIcjWLcVtxKw==[/tex]，故[tex=2.214x1.214]gbFrx2G34AI540PBdoIWEQ==[/tex]是矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的一个特征值，[tex=5.071x1.5]wTA9HhcLpJsj2ZdYgXePs3ZWJ77td1IYD8gsEAfMESA=[/tex]是对应的特征向量 . 对应 [tex=2.214x1.214]gbFrx2G34AI540PBdoIWEQ==[/tex]的全部特征向量为[tex=1.214x1.0]jU9bM22JnmjKD5ngFizE8g==[/tex]，其中[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]是不为零的常数 . 又由题设知，[tex=3.857x1.286]NLy3z1bAemr6IyKI32cr0dXHckbkFvOIc5uzFjyOxKo=[/tex]，[tex=3.857x1.286]U5EslLUIgQzZQIXtl04dJQycPRKBsEBJM61Wgut22xk=[/tex]，且[tex=2.429x1.0]C3Gt0wf4j9ybsfUN2FHZHFoIFs2e4RwifxVmWyS2KlI=[/tex]线性无关，所以 [tex=2.214x1.214]jAep1rg7lvkJQQ3fyfWCUA==[/tex]是矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的二重特征值，[tex=2.429x1.0]aiHkWuvOL9yjJJ1eRe1qNsXAiTloDKK22ihDGxD3Woc=[/tex]是其对应的两个线性无关的特征向量，故对应[tex=2.214x1.214]jAep1rg7lvkJQQ3fyfWCUA==[/tex]的全部特征向量为[tex=4.5x1.214]W5RO/rxzcVqPYtzXEvMF+nCx5IaZnVjPyMd09Ti3+o+Zz3bom6mcPGlei02mJysb[/tex]，其中 [tex=2.214x1.214]9373kTNazvMa06idWneIjg==[/tex]是不全为零的常数 . （2）因为[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是实对称矩阵，所以[tex=0.643x1.286]vYiGJJ9TAtvnQmM1PsOB8g==[/tex]与[tex=2.429x1.0]C3Gt0wf4j9ybsfUN2FHZHFoIFs2e4RwifxVmWyS2KlI=[/tex]正交，现将[tex=2.429x1.0]C3Gt0wf4j9ybsfUN2FHZHFoIFs2e4RwifxVmWyS2KlI=[/tex]正交即可 . 取[tex=3.286x1.286]dKWpWaNQe2j27qMhZwxopeUegNxdAIplCU9440oQQi4=[/tex]，[tex=9.786x2.286]Fv7NvSuDbloTyfI/8mioDIn5TeMG9aO7QT4QHFX9Ls9FeizbfYMSxQSnurIePXRsNgTSy6zeE+YYN4A3KYFsDLgJXR13zOecdMpPZhHx1mkBlB+0V1ThSxsT2/r5OtAtQbVWJFf+GHSUxa0I+zUxDCcOpn/Bj4pahQ+sHt8fQ1o=[/tex][tex=5.214x1.286]/5afX96BDOBx0o5QNKJv3FLmeYxdr0iDW6IN5zbdKqQ=[/tex][tex=7.714x2.0]rmEdAdzAwWjf/0gI3lhQXfGhdqDme2fAUDA3nNumU4XisKirNmpYhb78souGE5x3[/tex][tex=5.214x2.0]IEi/jyfj/dQ2i7yN6Tq6k5i7WsqP5VyeSjTuUCqp3qQ=[/tex] . 再将[tex=3.429x1.286]RVVTmiUxotdwaCXjspjDCm21hwu5Q6zpd989NxYulYIniavG/EzHHyuoZl+Yh2dN[/tex]单位化，得[tex=7.429x2.214]V5G3oavPlGw16l5EyzHv8S4ATPra97QLCn4W/AcH8z2JOtv18Jp3B875ikahuSjh[/tex]，[tex=8.929x2.214]0L5PjTrmvs9AbhQ+yYUVaNoO7/XRwO98JwQUBEEoxxg6z4lhvMf4P4JLp5p0JkO0yvMaHb+GEXX0l2IxVtK9Cw==[/tex]，[tex=8.214x2.214]6bZFNHthqZqb4ntXhyL2SXuoF2KRChO6aRekZEmNUIQzXx4/lN+UVE5BDMd+h1U60Oz52g9tir3pmrhlRjSP5w==[/tex] .  令[tex=6.0x1.357]Yp2Z9Odtridzjw08nlYnsA4ZoyJViQE097ySWBAh418xB3Sid1jI/Ixzb+nmTXjafzibFsN2xsJpzHJN/JXO5g==[/tex]，则[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]为所求正交矩阵，且[tex=3.929x1.286]qiSa2Z0QtwsSnymNj9Hz6/bNhXy5O6uEysoCfBQ29NU=[/tex][tex=7.786x3.5]wKwEfvVACmjDBjXmJ3arkY8nn7EJw98uoRJuoyxo35t7VvZt/fdCFvFEdoeU9WDvZTWUHJzEeLy5FtSVD43y3YLsoU5KxM3yvYdVM7XJSqO109bHQLpnq9lumfILKNSx[/tex] . 

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为 3 阶矩阵，[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的特征值为 0,1,2, 那么齐次线性方程组[tex=3.429x1.286]FF5bUci0HbqKyNGyHKVoog==[/tex]的基础解系所含解向量的个数为 A: 0 B: 1 C: 2 D: 3
1
设 3 阶矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的特征值互不相同，若行列式[tex=3.071x1.286]FYCnFYQQa8C3I+O2sfSSGA==[/tex], 则[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的秩为 A: 0 B: 1 C: 2 D: 3
2
已知 3 阶矩阵 [tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex] 的特征值为 1,2,3, 求 [tex=6.929x1.286]74pVMNXvhixCyck9fgI056t88ad50sk7E8vsulFHJqU=[/tex].
3
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶方阵，以下结论中成立的是未知类型：{'options': ['若[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]可逆，则矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的属于特征值[tex=0.571x1.286]B2ovqsb3k1n+9dueLzQ98w==[/tex]的特征向量也是矩阵[tex=1.714x1.286]TO1yVSeu6VTkH5eqe0g3AQ==[/tex]的属于特征值[tex=0.786x2.0]XRhEpJwHRR0SDbi4SIGV5TNtUPC87TAFPxIUIAyt4zI=[/tex]的特征向量。', '[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的特征向量为方程[tex=6.714x1.286]3/Y7cXjkuv7k59gfVTGFcVc24ac2jeP+1mDMbCTayAQ=[/tex]的全部解。', '[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的特征向量的线性组合仍为特征向量。', '[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=1.357x1.286]FPAXszqkGSZ7Lq+3w4W4vw==[/tex]有相同的特征向量。'], 'type': 102}
4
已知3阶矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的特征值为-1,1,2，求（1）矩阵[tex=5.571x1.286]OQw0X5RQo5/vziR0ICSSmg==[/tex]的特征值；（2）[tex=6.0x1.286]GiUfMyexR+ktDmrZJuZTGw==[/tex]。