设[tex=9.786x3.643]No14tepOrgpLFcwU7iwUQQvglEGGUy9ZiDuxX2HIvBX3d+/E7K58pAIcF/Nxs6hUCyiztM/DNypvc45YdZHZ8CLG12Q7V7KDDD3Y0dRNLUvtciSKRRGAMsa/GzOe80BV[/tex]，存在正交矩阵[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]，使得[tex=4.857x1.286]rBT5/uNzgbWBBfGRE6xSbwOuiGdAi5ccrp7SXFh1DT4=[/tex]为对角矩阵。若[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]的第一列为[tex=6.286x2.214]/mzsbC9+gbgDwnVXaJmchYWQD2ZNbI/BUvOLYyFtgvmLcvqQVQl953UEpLqqAwaq[/tex]，求常数[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]、正交矩阵[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]及对角矩阵[tex=0.714x1.286]6GaLCkpufqH4y+Zpjb+RIQ==[/tex] 。

2022-06-09

设[tex=9.786x3.643]No14tepOrgpLFcwU7iwUQQvglEGGUy9ZiDuxX2HIvBX3d+/E7K58pAIcF/Nxs6hUCyiztM/DNypvc45YdZHZ8CLG12Q7V7KDDD3Y0dRNLUvtciSKRRGAMsa/GzOe80BV[/tex]，存在正交矩阵[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]，使得[tex=4.857x1.286]rBT5/uNzgbWBBfGRE6xSbwOuiGdAi5ccrp7SXFh1DT4=[/tex]为对角矩阵。若[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]的第一列为[tex=6.286x2.214]/mzsbC9+gbgDwnVXaJmchYWQD2ZNbI/BUvOLYyFtgvmLcvqQVQl953UEpLqqAwaq[/tex]，求常数[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]、正交矩阵[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]及对角矩阵[tex=0.714x1.286]6GaLCkpufqH4y+Zpjb+RIQ==[/tex] 。

答案：

解 由题意，得[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]的第一列是[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的特征向量，即存在数[tex=0.571x1.286]B2ovqsb3k1n+9dueLzQ98w==[/tex]， 使得[tex=16.143x3.643]jyVOORWehIbTNQvvtYroWhHRmrpgZ+cCd5eCc9iR7+sVZNdBLsH2kVfxRzAzxMXmHQdcoLJKC7Zl1uPN4DNViFFwj2PU3JUJf1c4BIHEv3SohzzITswAbSOQc3KarHqrP0sq1swRRjhLi5Gkrw9EtNQ90VnmquXcuEsKl541lnqJa857gwe+qg3wDnYbtj5ZtD1v2UozEFB4llmLZEsaztGyklM3vE5nIsLM0tD2HGj8qPCcP2dRMm0fqMUlQalHFvQdKjmSN3kvQOFa54G75A==[/tex]，[br][/br]解得[tex=3.0x1.286]Nh+O14x9JC7zebCegWcPzQ==[/tex]。[tex=10.714x3.929]r+tiAx6ClSaeP7cZbqpjmSQknJTvSyjmMn9KQrSttYdWUvuzmG1MAhNM/ALT+9jIt7BSVU6sHwBZwEhPaPHMwAciQtSl0xn6SQz6ACEPHjBiu0DtgxoyZ/W649sQVvlM[/tex]， 其特征多项式[tex=14.786x1.286]vAGON7+JxTsi8RkBcCBNjE02ItL2FEv+ufrw756AiVFl0KThHHNVXi3crsUUKw0zM9iPAlbhFcT36VU+ZE+uyg==[/tex]， 所以[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的特征值为 [tex=3.571x1.286]rZn068/7nCi4JzO1rrKQiGFXGWosRewmlpIXpI2smUc=[/tex]，[tex=2.786x1.286]sk/HzysjwYSe7JcBMDZ4Bof65XObGua+VF8RIHFCbkM=[/tex]，[tex=2.786x1.286]8bP9r9HFluniY0hL61vs9RhgB6XLk0NJ6q6ZXZU9zEc=[/tex]。属于[tex=3.571x1.286]rZn068/7nCi4JzO1rrKQiGFXGWosRewmlpIXpI2smUc=[/tex]的正交单位化的特征向量为[tex=7.857x3.643]tPEOQmHy+aknM59WFeOqAG+RaE/p5JCorRpmO2LHjYUPZ1inZ6NlDsmav2mULUTfGjuSa7aNfhSbg6nEKrQIh5dECbPVEanvVngX0B/UhERb35U5NtdHtAY8e1ftnAZs[/tex]；属于[tex=2.786x1.286]sk/HzysjwYSe7JcBMDZ4Bof65XObGua+VF8RIHFCbkM=[/tex]的正交单位化的特征向量为[tex=7.071x3.5]MmlveZs1zMicKlOASdswQ/glg+i8LH4xcE9BEnSxZXD/wXTaIdEqdYv0apHWgnxm6IeheNfRqA5shKHphtbY2vkJL4TKPB1lNHoohV9jE+aHv8nwVoNb0l7MEQFynJzE[/tex]; 属于[tex=2.786x1.286]8bP9r9HFluniY0hL61vs9RhgB6XLk0NJ6q6ZXZU9zEc=[/tex]的正交单位化的特征向量为[tex=7.857x3.643]MeQCF/SukxXtirLcbODF4PFBvPVr1ERUyCt78wDCZpx7fn8G0qLud3CBk72tTGLJoZQhrxbhqxTuQIz3xen7JnptmUpcIdrt0Evxt3hWjcXDbl3Ev6rZCk3p5uHAnYxp[/tex]。令正交矩阵[tex=7.5x1.286]zEbTJyyKUZ8HH1ZLqZMowKs6UOcROg0EeS9BXFmCwe529BpBLU6hH7XdyZ+gQsBswU+O5BqyQ05KnkxAHydUEA==[/tex]， 有[tex=11.0x3.643]oW/GKPYURFK1XtVJlAckNm7I+lEsqJxceS6u1G1EhMejFFDLVsTM7+JQAekj7q+a5xvFqxIIrNVV1Gt6ZgVATgF1WPnAwlznkwR2w124ZtIC0TqUqtM9YiAK5xRJ4XMe[/tex]。

举一反三

内容

0
设[tex=2.643x1.286]yu9Fqc429BTsCWKDfgGy8g==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的秩为[tex=0.5x1.286]/r3Eij8VRNC5JxYjlQuXEQ==[/tex]。证明：存在列满秩矩阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]和行满秩矩阵[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]，使[tex=3.571x1.286]pSpT/0da3Zd5mno7ETYbCQ==[/tex]。
1
证明性质7.4.1：设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是正定矩阵，则（1）[tex=1.286x1.286]I/09VlJojFBZQlWpvi/KHQ==[/tex]为正定矩阵，其中[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为任意正实数。（2）[tex=1.714x1.286]TO1yVSeu6VTkH5eqe0g3AQ==[/tex]为正定矩阵。（3）[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的伴随矩阵[tex=1.143x1.286]5WX0zEPSvFFLZ40WpRWDWQ==[/tex]为正定矩阵。（4）[tex=1.214x1.286]861032IuvLpLlBDX6HDk6Q==[/tex]为正定矩阵，其中[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为任意整数。（5）[tex=2.929x1.286]IEeTi5VuX3RXkozn+jPFyg==[/tex]为正定矩阵，其中[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]为可逆实矩阵。
2
若矩阵[tex=7.214x4.786]YmZOrAutSxe6/7rdwvN+7/bZaY87MqrgU5rX5j/XTy/bT9xShFBoAuedhDWXKHL7w7GCrX+x8yCkVTzvYKM6Fs/kgNxXds/q5LeFXWehZ3o=[/tex]相似于对角矩阵 [tex=0.714x1.286]6GaLCkpufqH4y+Zpjb+RIQ==[/tex]。试确定常数 [tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]的值；并求可逆矩阵[tex=0.786x1.286]syhD1QeVJHJnBYGPyhK8Pg==[/tex]使[tex=5.5x1.286]iuRNIgLZWIrQnIQsMkDqTe0eYCgDXz8mqp/NFlYQr8Q=[/tex]。（本题满分13分）
3
已知[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]是常数，且矩阵[tex=9.0x4.786]bh860vCil1s72yls8vfnjat3Dbvojc8hLRWk/nCV3ebiRWizO89cYuTTo38zBjIGeD2hUrPnUa8IijGRdEA3Du2BH0MKt6kvI3x/s7hB57g=[/tex]可经过初等列变换化为矩阵[tex=9.0x4.786]eNRAQFs3w3YthMte51dkgg2JyKcCAoM3dAkTu32GTuAEcD3IpHb765sPI1zpYbGVJLtm0Lmy29PAyZrr/e0uk8grE58X5zesayEV+Qghuq8=[/tex]；（1）求[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]；（2）求满足[tex=3.571x1.286]sOfq1nMU4AuaHoSlEVk43g==[/tex]的可逆矩阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]。
4
对下列实对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] 求正交矩阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex], 使得[tex=3.357x1.286]TvRsUv5t/3lJOPEdcGcONfuVM4C/bLaP8ZJtWRinRXA=[/tex]为对角矩阵:[tex=6.214x2.786]sSXBpxJWudVpH1R35o4LnE0bLZnSPEoDNmtl5XLvZQ81q6AbPwVhJ0ckZM/g2nUxqJrc7JTIzM2sUXDRpC7mKQ==[/tex]