举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]和[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]均为含幺环, [tex=4.929x1.286]i/qcPsD1vRQLSn0RZoXrsgLjKM36B3W2jm4OmIlwfLk=[/tex]为环的满同态. 则[tex=4.357x1.357]0MeSHITGwH3ynUj9KdJsC+nZLrBHEPG0LGFtYnVMB/0=[/tex].
- 令[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一些线性变换所成的集合.[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]如果在[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中每一线性变换之下不变，那么就说[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的一个不变子空间.如果[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]在[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]中没有非平凡的不变子空间，则是不可约的，设[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]不可约，而[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个线性变换，它与[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中每一线性变换可交换.证明[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]或者是零变换，或者是可逆变换.
- 设集合[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]和[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]是有限集合，且[tex=5.143x1.357]1xB7Ukm1Nk5xfyBnv+DKyQ==[/tex]。在下列情形下，存在多少个不同的有限状态自动机[tex=4.929x1.357]VuuHgiLU+UrVAKBTkMbYjzfse9/0hkDRHqnrRx3scbA=[/tex](其中初始状态[tex=0.857x1.0]45aud3jsuhtBHeG3mb7JlA==[/tex]以及由[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的终结状态构成的子集[tex=0.857x1.0]mV7zymYEzCaLBzDfm51xCg==[/tex]可以任意选择)?如果机器是确定性的。
- 设[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个非空子集. 证明: [tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的全体左(右) 零化子作成[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个 左(右) 理想. 称其为[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的左(右) 零化理想.
- （[tex=2.286x1.0]jV77yGwC+Mx6/mPaHpjmIQ==[/tex]悖论）[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]和[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]两人赛跑，[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的速度为10[tex=1.857x1.357]s01JNG/cfJqbEBUPiJOwkA==[/tex]，[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]的速度为0.01[tex=1.857x1.357]s01JNG/cfJqbEBUPiJOwkA==[/tex].开始时，[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]在[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]前1000[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]的[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]处，[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]到达[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]处时，[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]前进了一段距离，到达了[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]处，当[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]到达[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]处时，[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]又前进了一段距离，到达了[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]处...[tex=2.286x1.0]jV77yGwC+Mx6/mPaHpjmIQ==[/tex]断言[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]永远也追不上[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]，试解释这一现象.
内容
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设群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]在集合[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]上的作用是可迁的, [tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群, 则[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]在[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]作用下的每个轨道有同样多的元.
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令[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上一切满足条件[tex=2.786x1.214]mvwhVwJL24ydveTXjvDdxQ==[/tex]的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]所组成的向量空间，求[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的维数.
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设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一任意集合，[tex=2.286x1.214]n4UPT3fPQF8LGaTSsyfoVw==[/tex]。定义[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是从[tex=7.214x1.357]taUXvsH3ruVlBiAfiJJff59SBVeSKn4gGlHJV6UmC60=[/tex]到[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的所有映射的集合，定义[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的元素的所有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]重组集合。[tex=14.0x1.357]w7+RnDZOWfmefwWU8p6ib0FQCKuY2hseoVfD30pop5jYwGgCIxViT5TKmlwNzGnhtZNthwLo4/1+l3Z7AFPuOPw151jF51+B8lBwgf3Ml5yh28lk0xBpLrccEzOPqGMy[/tex]，证明存在一从[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]到[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]的双射函数。(由于这个双射函数，有的书上符号[tex=1.214x1.0]tDNj5aoJETJiravoifVs8Q==[/tex]既用于表示[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]，又用于表示[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]，即用[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]表示集合[tex=8.214x1.357]UHHN19pBVvWVmKuVCXi+91fsnyglX8sW+cwyUx96nqU=[/tex]。)
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证明如果[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]、[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]均为基数为[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]的集合，[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]为正整数，则在集合[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]与集合[tex=0.786x1.0]TkWiaIfselaE0uOF2JDYag==[/tex]之间存在一个一一对应函数。
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证明: 环中包含子集[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的所有理想的交是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中包含[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的最小子理想.