设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=2.357x1.143]mRv/n5Z9chZTIRHiNEmvvw==[/tex] 矩阵, 若 [tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex] 和 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 有相同的秩,求证: 对任意的 [tex=2.071x1.143]6lR8OQoKIjEKuNzqcwcrcA==[/tex] 矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 矩阵 [tex=2.286x1.0]7G+DRyq9DQdwAo7mOI27Xg==[/tex] 和矩阵 [tex=1.5x1.0]S6YiYmsVokvpaVMxlyTBUg==[/tex] 也有相同的秩.

2022-06-07

设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=2.357x1.143]mRv/n5Z9chZTIRHiNEmvvw==[/tex] 矩阵, 若 [tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex] 和 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 有相同的秩,求证: 对任意的 [tex=2.071x1.143]6lR8OQoKIjEKuNzqcwcrcA==[/tex] 矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 矩阵 [tex=2.286x1.0]7G+DRyq9DQdwAo7mOI27Xg==[/tex] 和矩阵 [tex=1.5x1.0]S6YiYmsVokvpaVMxlyTBUg==[/tex] 也有相同的秩.

答案：

证法 1  方程组 [tex=3.357x1.0]QFCxlGh75glk4rKEmUWpdQ==[/tex] 和方程组 [tex=2.643x1.0]LTFtuTG1XGNG6ZKGcYObog==[/tex] 同解. 要证明[tex=7.0x1.357]yw3JrY45denAjXOzhlb2Oy78Gn+UNDMnlBMNY6VbbrQ=[/tex], 我们只要证明方程组 [tex=4.143x1.0]s24hNP07en29rvrbIBA33A==[/tex] 和方程组 [tex=3.357x1.0]RQvjuBmJzL65pMC7TBoGNA==[/tex] 同解即可。显然方程组 [tex=3.357x1.0]RQvjuBmJzL65pMC7TBoGNA==[/tex] 的解都是方程组 [tex=4.143x1.0]s24hNP07en29rvrbIBA33A==[/tex] 的解. 反之, 若列向量 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 是方程组 [tex=4.143x1.0]s24hNP07en29rvrbIBA33A==[/tex] 的解, 则 [tex=1.357x1.0]ONpWJ4tc3UXxkrkhJIWBYA==[/tex] 是方程组 [tex=3.357x1.0]QFCxlGh75glk4rKEmUWpdQ==[/tex] 的解, 因此 [tex=1.357x1.0]ONpWJ4tc3UXxkrkhJIWBYA==[/tex] 也是 方程组 [tex=2.643x1.0]LTFtuTG1XGNG6ZKGcYObog==[/tex] 的解, 即 [tex=3.429x1.0]ShfrHNHElGLM26kFcXqpDw==[/tex], 于是[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 是方程组 [tex=3.357x1.0]RQvjuBmJzL65pMC7TBoGNA==[/tex] 的解. 这就证明了 方程组 [tex=4.143x1.0]s24hNP07en29rvrbIBA33A==[/tex] 和方程组 [tex=3.357x1.0]RQvjuBmJzL65pMC7TBoGNA==[/tex] 同解, 从而结论得证.证法 2 由 Frobenius 不等式可得[tex=17.286x1.357]H6fKJPksEDYN5h/PTPMYH2cpBLNpeOVUnezQZlfelBnQjE8455/4OIvlLPAATldD[/tex]又因为 [tex=7.5x1.357]mwpEEhFdZO8UYz8jV3T37GmOsZBwlMxm7KozlFowwqA=[/tex], 故结论得试. 

举一反三

内容

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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, 求证:(1) 若 [tex=3.357x1.357]a7qAbmiLBFc3iSK33Jqg/g==[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是列满秩阵, 则必存在秩等于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex]矩阵 [tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]，使 [tex=3.214x1.214]qFuOqB/J5YwAsAHomJYPyw==[/tex];(2) 若 [tex=3.643x1.357]NrKc/6u1O1LFs1JAil+zeg==[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是行满秩阵, 则必存在秩等于 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex] 矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.643x1.214]zyEHVZjYzQ8SDWBlfQFbZA==[/tex]
1
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是秩为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, 则 [tex=3.071x1.0]gOXtqsUVQJgsp+QmYJZYJA==[/tex], 其中 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=2.571x1.071]cx+2xSos1xod7QXaYyONqA==[/tex] 矩阵且 [tex=4.429x1.357]add5zLXx5HYsqtXYRazw7g==[/tex] 是 [tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex] 矩阵且 [tex=3.5x1.357]y2PK6Mky7YxahgfnqXrZ5A==[/tex]
2
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]都是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，证明，若[tex=3.286x1.0]B5kng4RQ4+wxoF4j9jMkfg==[/tex]，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]互为逆矩阵。
3
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是实正定矩阵，证明：[tex=1.571x1.0]ZT2ndRlmVScNtr8tRaWqog==[/tex]是正定矩阵的充要条件是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]可换。
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设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex]矩阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]为[tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex]矩阵.当[tex=2.286x0.929]MvAzo/W52101fXj5D4S9tw==[/tex]时证(1) [tex=5.286x1.357]v3ftjfg5853+CriE4S8dXA==[/tex]；(2) [tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex]不可逆；(3) 齐次线性方程组[tex=4.714x1.357]MHhWKj9Fmo6BowhdwpS8Aw==[/tex]有非零解.