设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex]矩阵,[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵，其中[tex=3.143x0.929]l6Jw54gxNWln0dfsw44Jtw==[/tex] 如果[tex=2.786x1.0]YX5lolnI6Ykt6Dnvpiqecw==[/tex], 证明: 矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 的列向量组线性无关.

2022-06-29

设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex]矩阵,[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵，其中[tex=3.143x0.929]l6Jw54gxNWln0dfsw44Jtw==[/tex] 如果[tex=2.786x1.0]YX5lolnI6Ykt6Dnvpiqecw==[/tex], 证明: 矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 的列向量组线性无关.

答案：

证: 将矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]按列分块为 [tex=8.143x1.357]sb0lI+O+hg9lDaI90Oub4KM9krJSho2+FlnD3SFhPLgegddGHDNRM6rmzWODBuj72ZP3fo+0JW+pn1+19pY70pd22BxFS2Rjjo7UC6/cKwdrUNAQd/yY44mmseDisuaeTYdl0Di/bD8YM+ok4A6ZGA==[/tex], 设有数[tex=5.143x1.214]gKyt7CszUu/fnwh4cQZUW/AuvsPOxTKCpZEoZw2XAFw=[/tex], 使得[tex=10.929x1.286]6c2yGL9NP/7ZHMnz2hwJrVi9aJTbIPZFBhalr/Jvq71BD9P/nbHfxlIOxVDqItsnDs1Lt/hBF/z/eFBorFF3LGHNmBYyUma/8jlW/0fqJkTCZYFb6jRwpm8qe5a3xKIai0gxZa30qUKyODX0l/Qbbg==[/tex]此式可写成[tex=11.714x5.357]ncEy5j13WhqCXeSxU+z4MGdCxd+XDgE9Pzq4C0z1QzE8RjMJrUaAcED9cu7P1xDV7194E7hhzgO+GweOMoP0ZGS+0FVI2iUS0G+ybvh5VLUehKEwd07vy2DlQy6WzLseBV5zq1vJRvnnVWouLM3v9KCHxERK/EcRCUtjd9QHmxwi/Qb0Srsei8/Z+4nAZAGEZyaKWyYFj+Y/g+NceG3ij4JcjSuuBqm3MXuvwoFl0wi22vz7s1dad6kYV6RCGlb9[/tex]记 [tex=8.429x1.571]wxYL8qt8RankTrq6joaO46QBzNEiowVhmJ5tSfL8Ede0aa9KSkb85lGONGGyr6wVabBg9P/WsU00yiLrtglEEZVYdMKEXPJIIfJjlzHnqTk=[/tex], 上式又可写成[tex=3.143x1.0]0RPoQRZjuPnxSMjTcqtq6kKlKlF5fhbI5F7Ha8FExO4=[/tex]在上式两边左乘矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex], 由于 [tex=2.929x1.0]Ol8jlKhWxQX4cVKhsnrg2uxAe+ErN5SQWAJNie0JKVQ=[/tex], 可得[tex=8.071x1.0]ysPsVBYgue2sVzMz/Uq3u68Syxmez//eKhkCd59eyrA3PDeyKBLmZOuE56FtnmjgVCbVCdqVE0IoC3LbB49avtxQlYHk10hrUM2exYpP1kg=[/tex]所以[tex=9.0x1.214]uIHiIqntMHQuaccmlVESC/XYAxftSjXpgVMhBy4mkjp4Xup2ZlDKsjjaGnSWKLSF[/tex], 由此可知 : [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的列向量组 [tex=6.0x1.286]Bon++APCFFqGDVhoG+r8OR2JfZpGDJM1aNX0wquPUcE8LIZ4cO5pyL9hXiP2VTlxtY1pPOpkD+QjmGnFZH8mwTeP5A3BCRm16cBdAEsc0DD7S/TFNeVHCCOy9Os++YB8[/tex]线性无关.

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=2.357x1.143]mRv/n5Z9chZTIRHiNEmvvw==[/tex] 矩阵, 证明方程组 [tex=3.357x1.0]QFCxlGh75glk4rKEmUWpdQ==[/tex] 和方程组 [tex=2.643x1.0]LTFtuTG1XGNG6ZKGcYObog==[/tex] 同解的充要条件是 [tex=5.571x1.357]VhAWtHdvohiNT56QOg1UL7GMDRCYakZE6Tv5pd7/RS8=[/tex].
1
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是实正定矩阵，证明：[tex=1.571x1.0]ZT2ndRlmVScNtr8tRaWqog==[/tex]是正定矩阵的充要条件是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]可换。
2
设矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex]矩阵，证明: [tex=2.0x1.214]bB6MSaCzjTYi/viQyxJE0g==[/tex]和[tex=2.0x1.214]+ViHPiY1x3grdTX5xtwu9Q==[/tex]都是对称矩阵.
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是秩为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, 则 [tex=3.071x1.0]gOXtqsUVQJgsp+QmYJZYJA==[/tex], 其中 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=2.571x1.071]cx+2xSos1xod7QXaYyONqA==[/tex] 矩阵且 [tex=4.429x1.357]add5zLXx5HYsqtXYRazw7g==[/tex] 是 [tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex] 矩阵且 [tex=3.5x1.357]y2PK6Mky7YxahgfnqXrZ5A==[/tex]
4
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]都是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，证明，若[tex=3.286x1.0]B5kng4RQ4+wxoF4j9jMkfg==[/tex]，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]互为逆矩阵。