对于正整数[tex=0.571x1.0]nMMvvoMxfdATjO0Lek+hAw==[/tex]，验证整数集[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]上的模[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]同余关系[tex=1.143x1.0]lqzlsCaN28BgGMi8KbwZBQ==[/tex]：[tex=2.786x1.0]468GbyTX8uuaIuTy26AHwA==[/tex]当且仅当[tex=4.0x1.357]K6oZ25TvxWDL3sOYugqXZw==[/tex]是[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]上的等价关系。

2022-06-07

对于正整数[tex=0.571x1.0]nMMvvoMxfdATjO0Lek+hAw==[/tex]，验证整数集[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]上的模[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]同余关系[tex=1.143x1.0]lqzlsCaN28BgGMi8KbwZBQ==[/tex]：[tex=2.786x1.0]468GbyTX8uuaIuTy26AHwA==[/tex]当且仅当[tex=4.0x1.357]K6oZ25TvxWDL3sOYugqXZw==[/tex]是[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]上的等价关系。

答案：

解：（1）对于任意[tex=2.0x1.071]d0mRv+yaimrtnpUXszydFTpNmmCwMfa5Ylg2Z5fd8ds=[/tex]，由于[tex=4.071x1.357]5IyZdNaFtFnwlXcKzehvSw==[/tex]，于是[tex=2.857x1.0]oyjizzIxrL4y9Vb776hUvsooFhYpFFmNo6o/VaPaqS8=[/tex]，即[tex=1.143x1.0]lqzlsCaN28BgGMi8KbwZBQ==[/tex]是自反的。（2）对于任意[tex=2.714x1.214]M4l3VoHUADNQn7stslCW0xPy68QfNCBfWSmBUVdZIXw=[/tex]，若[tex=2.786x1.0]hmjtloKjcflF36mU/2MAlw==[/tex]，则[tex=4.0x1.357]/OIL+sSqWG1dAoWOzm5i8w==[/tex]，进而[tex=4.786x1.357]QXV33BYZU2qWrbWsjBUY+Q==[/tex]，即[tex=4.0x1.357]YJn9cBf3HnxAkAD6+jkNVw==[/tex]，因此[tex=2.786x1.0]mSaBlHcWXqgwhzj0DsPESg==[/tex]。所以[tex=1.143x1.0]lqzlsCaN28BgGMi8KbwZBQ==[/tex]是对称的。（3）对于任意[tex=3.5x1.214]mxtdHZexozNLup+MdKXLJE7SWEsEktzgimUBuL48ST4=[/tex]，若[tex=2.786x1.0]mkzPFFF6/u1e+9yMJMV/2rXpAs92vDA3jy6i9408AwQ=[/tex]且[tex=2.714x1.0]X2qdWOgiCSCwRJgTyvU6xA==[/tex]，则[tex=4.0x1.357]Lhze90HUyaZ8b/HVHOa2Jw==[/tex]且[tex=3.929x1.357]9TZ6bNBfoWWKPYM5gpCuug==[/tex]，进而[tex=7.857x1.357]qLrIgLhR9meVkiuyuRZtoFa3AcgTmDLj3WXTkAWg3Fw=[/tex]，即[tex=4.0x1.357]NAzY9NFliJTcuuGczCU5wA==[/tex]，因此[tex=2.786x1.0]jLo1HVKZmZalOLlbpLKzPQ==[/tex]。所以[tex=1.143x1.0]lqzlsCaN28BgGMi8KbwZBQ==[/tex]是传递的，故[tex=1.143x1.0]lqzlsCaN28BgGMi8KbwZBQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]上的等价关系。

举一反三

内容

0
在整数集[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]中, 规定运算 [tex=1.643x1.429]tgVpBLZ17/5tg1ECt7vteg==[/tex]如下:[tex=12.357x1.214]3+h1gem9Cia1SBXWpqfkw+uPmwy0m43inHnK6IpAWxE2GtNUUyyZt3dTo2ID7O6YOCyusitkgPLQ+G+BeZS7IA==[/tex]证且: [tex=3.0x1.357]fAvUMRPedl119yraPeFIaamLSaa3E0ezL40evw0RcBs=[/tex] 构成群。
1
求整数加群[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex] 的自同构群 [tex=3.214x1.357]GOX8xyVYWOYciZhS1g972Q==[/tex]。
2
设[tex=1.071x1.286]mdrkz91/hsK6dkSTPIkGTg==[/tex]表示[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]上的模[tex=0.429x1.214]adIpAOtu2Zm0WIyZC7drnQ==[/tex]等价关系，[tex=1.143x1.214]w0jOWBOYpEcoMNBewKVdIw==[/tex]表示[tex=0.5x1.0]ycRjqHa76IDpEZtluYQxdQ==[/tex]上的模[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]等价关系，证明[tex=2.071x1.357]P0L7JYeLBZhCns8KrVsSlA==[/tex]细分[tex=2.0x1.357]ksGluXMZdLzDXcW003uvAg==[/tex]当且仅当[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]是[tex=0.429x1.214]adIpAOtu2Zm0WIyZC7drnQ==[/tex]的整数倍。
3
假设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是[tex=2.429x1.071]fYRl1cpBZV0k8ULAvI7FIg==[/tex]矩阵，试证:a) 对任意常数 [tex=2.571x1.0]VtY7jm6mc9rzSkWtkYe1NLpnuWB7PUTxqEY9UAy25cI=[/tex] 都有[tex=14.643x1.357]yhC9Vgi5kFQN6aI/CUtvlMWSdKde9g7Ys1XchUj0pwQCXAEJtfAZY5zTEHfYhL/AzIx9Ex1xfNhYMIs4X6yL8CXjg6rrtN3nVXtOXtroS7k=[/tex]b) 对任意整数 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] ,都有[tex=7.571x1.5]fQhSsBIjr0fi1PAOcGDZgnjcVNBezzcaM2QJuQ6VfC8=[/tex]( 当[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]是负整数时，规定[tex=10.5x1.786]wiQyS+D4jxoqMG/+eBuXLcPLSSGKOnNKFNz4ahU1kLHIxNIgDCUTNuDb3G2FmBvQLnGxwWgC3ZTOjfpAYEo3HQ==[/tex])
4
在整数加群 [tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex] 中，设 [tex=3.429x1.214]FN1VUAHKbB1W/fLlb38j+OXa68HIPb6FvnM86dmi83Y=[/tex] [tex=0.571x1.0]QDHYLzpRIwhOrWBqGonCgg==[/tex]为 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 与 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的最大公因子数。证明: [tex=4.643x1.357]suKC0oFMt62awJ1g830OoS7o85YZ6upUbeNvfDwwecKXqpfqgbcg42aJpKL9QSOe[/tex]。