证明：秩等于[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]的对称矩阵可以表成[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]个秩等于 1 的对称矩阵之和。
证 由题设知[tex=2.571x1.143]D12DFAfVF6d8G1KmxbIZcMLSHH89gIaqLa8/gQK+kk8=[/tex]且[tex=5.214x1.357]k8PvTJe4iQVkvPfhUhxDGBEmpiMOE2k9mJyr7syxq2GfdMbZe88jbFQiWYLwV+tN[/tex]于是存在可逆矩阵[tex=0.714x1.0]L1o8v5xXpD2L9hx/nSI3Jg==[/tex]使 [tex=4.143x1.143]EsKDDs/IrTnW1c2AkimWzfb8NYoIfRxBDxKPPIae/V8=[/tex] 且[tex=0.857x1.0]e0OI5qCSAG44oMNj1SOXHw==[/tex]为对角阵，又因为[tex=10.643x1.643]IxJ6ZLYhBObNzGF9Gq24FIvwjWMcLSVzonprFDnlAuEpZ/pT+Hm7veARqj02zk3blugCM8ZzEmd8nNcx9j3qi32UOcm0y26exOjTaW7bze5/l+jZ+jpWGg8tn7hdeBeN[/tex]均为可逆矩阵，所以有[tex=10.714x1.357]EsKDDs/IrTnW1c2AkimWzegyVkSpqGK7uYanqGO/Ss/iFVmie5y8Tv8Bs7pkHFTy[/tex]其中[tex=8.429x4.929]Vs3YzsUGF0ba8hFjtJ6K0oWppfeOUcXOdUmXg5N+6OkNzL9MDyVRR663+SXhtCBRrI2xmvsy6OZ/HNgpEYKhjS4FntOXi8aKixVxdFYDsOXrXvOQth/jr7SZT1iks4a006YAux/MP6dEti+Wu3uc4w==[/tex],[tex=11.714x7.5]ohTCE2AB1moB/bmuCYmZV9cNzL9RU6QeuN2rgW+jl2Ow6zeBduiKtnzTcNbD5Y5vYQ5CODz7M99xIPL5l4DLv/i7UDJ6nEBamSx7p43/RdyLS3IyuQaxwU+fHc+lrKDMjv8ho8nTJ2GTRnQQXs+spA==[/tex],...,[tex=15.286x10.214]O+rgak/QIztiodpP6m5A7X03gfn+LO8gceVC0zqIhVQQ0i7z2YhuvuOEzrV4/H5ePebtk6sVGU+htzCyay+my6mqUdUVkItD2Qz98tNasL/CkVew/WfZz694Umt+1NElm4XAgcZVLenS0WjeOZrqPWlhghNY4zqjdUwdUXF0uwj+TzvX80aJploYBkyo5NsGO+LH/7ezOmc8FHB1ihb8WD14pIuAFxf88yA12Yylheg=[/tex]于是[tex=14.714x1.571]tdQ4y6WJPkXqQZvRRLwDItBBq7o7+gDSL7oVTwdKkk4uazGcUqCHZ883Sgev8MNXWaDeBQN7WEML1Uxk0HVopzYgrN0J4tGLERdt/85HOtI=[/tex][tex=23.0x1.643]c39mZeOOKkKYR1Y0X2rrWnma+p0WcXhhrc/jJ6DOjTNT8H7nNu9S/bih527HhXfAE5iTufEvxF618xjyKQkA+4eFnnxjIKoMjsST5VJGoTlgnaKmz0KSQoTRH07AkcqTtMayfk2DWsCHiFBLTsgud8QdZOg0BTDCNUfYeSLw28i1mpXsFI72Lrq3aOXSQ6BV[/tex]因[tex=17.857x2.214]k8PvTJe4iQVkvPfhUhxDGNDAwMbj88AJuTrGOGTMtvcEEC4OD/JMBXbVe+EoD3aZI1Lnqopf1XauWho/1GfPlEgOWA/eIW4cR1/3DbdWGvOJ+9U4Ag+nKuy/n2BD9CUDNuW0fsYD7L6YzstrrtLf1A==[/tex]且[tex=20.714x2.286]ZR0sE8diROSszrE64Kj1QC/5fx0ETqND+l9fszQbtDB4nBSWFEUChqfpSyWBzULrv30MmywTobFxUUMyOd4uz0kBe4Lx5DxJvPqNqA6miFDBS0K7eSG3E5C+W8VV4XKAMwC7qR8UGPn6ZXvJkFeQs4qKXXdq5KcxDjzQGAKP2w5QchJzmF/QzoBzrp/oLL1kmlCO5JHWfwsUnp/prkZXmw==[/tex] 即 [tex=5.857x1.643]vYcumBsbtfPic7JjrGYSvyMnfFDsRg8SBZDaGba89nkrgJt0ZRwlXr6oiwJX4cMajkGtZ8Hz8hFX3OJ9GojUAA==[/tex]都是对称矩阵，故[tex=0.786x1.0]3UKvB+w607mbn/eWBx9vkQ==[/tex]可表成 [tex=0.5x0.786]Q6ITMU/GynTiExktcEHF3g==[/tex]个秩为1的对称矩阵之和。
举一反三
- 证明：秩等于[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]的对称矩阵，可以表示成[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]个秩等于１ 的对称矩阵之 和．
- 证明: 秩等于[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的对称矩阵可以表为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个秩等于 1 的对称矩阵之和.
- 证明:秩等于 [tex=0.5x0.786]c3XP7Nc5gbHP2NzYIVnjbg==[/tex]的对称矩阵可以表成[tex=0.571x1.0]C5fA+C2Kq7LRoadFKP5fTg==[/tex] 个秩等于 1 的对称 矩阵之和.
- 求证: 秩等于 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的对称矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 等于 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个秩等于 1 的对称矩阵之和.
- 求证: 秩等于 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的矩阵可以表示为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 个秩等于 1 的矩阵之和, 但不能 表示为少于 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 个秩为 1 的矩阵之和.
内容
- 0
证明：任意一个秩为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的矩阵都可以表为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个秩为1的矩阵之和。
- 1
证明: 任意一个秩为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的矩阵都可以表示为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 个秩为 1 的矩阵之和.
- 2
证秩为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的矩阵可表示为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个秩为 1 的矩阵之和.
- 3
证明:秩等于 $r$ 的对称矩阵可以表成 $r$ 个秩等于 1 的对称矩阵之和.
- 4
[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个秩为 1 的矩阵之和为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]是否成立？若成立请证明，否则举反例。