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  • 2022-06-07
    证明：秩等于[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]的对称矩阵，可以表示成[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]个秩等于１ 的对称矩阵之 和．
    • 证： 设[tex=6.5x1.429]twO+7Aro6cs3KMyrEHcpA2dYJNKcXJKOsbwshT+ljYQ=[/tex]，存在可逆矩阵[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]，使       [tex=14.214x1.429]EzdssmPJV4oFm+PM2h1LfVrjq9Eit7obyO+kZEsV7rAtFUAYfhvK0HtmIBDJQL/lELL7p6CLUU+DZbp5zBjHcSOMATDWsCrrMVbDpx+5l+UJLlXXYWxGuzv6PIYhux9Z[/tex]其中，[tex=8.571x1.214]Ot4zS4OStfSWPqtARh3tGII2pGJgVNRkW/TRdC8nGIk=[/tex]于是，[tex=17.214x1.571]KzXAT3C0EGNWTS/a6Ypz2qvzGk2ihx12ZPR23ccMeeXk/M6pndXw4FOA+tWGLXUOzsgp/32JguyJhkUG9DaWYjs/dt4IY9azz9+H1aDEmYOKlHjWJM7sfgtSZxXDw8z28DQxyAQ58hqUkOg/3oVr7A==[/tex]            [tex=26.357x1.643]/h+kKq09flBM7l4ALwpHtxGraB7lPf/yo+EXBD961GjSgPHf4BnhFBu7t+VhaabYV8c+5soozGKyCyfLp5tuyJk+6Xlb1Dq70+j6zVOP2YS642XwXho4BYzu+gQW2UktDQf7nnBBAs9IMLaJyvMiqUyfv2G5QNCo7/GSTkX8Dkw=[/tex]（1）其中[tex=7.5x1.357]E5rWbQmnD8KYNj6c/Gcj60EfH92M95EPkii6MbHje0Y=[/tex]是位于第[tex=0.357x1.0]+eJLelx8thmbkEj/Y0iCOw==[/tex]行、第[tex=0.357x1.0]+eJLelx8thmbkEj/Y0iCOw==[/tex]列的元素为１，其余元素均为０的与[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]同级的方阵，而[tex=15.571x1.643]HbfSsVtjPLAycxOcSzszZzKfv1A9V9HBsJCgsXuF4bRMBuPXbrxyEyUoa8DgUHnd6WgnPNK4bEG6dgZFSzvPpl2Cu4UWrbnpajQztl93MD0=[/tex]显然[tex=8.071x1.357]X/7UKOjHqnTRpEJKOD4ryjDKHJ0rqufJAgTsoWhc4KWzSoSfkBhUI8MPM1QYeXik[/tex]，且[tex=19.286x2.286]oTT7IVYL2BR33VluRfkTs2UVgoNA8wHq6hGWtknOaDMY25rUanzQ+tzIAidMeRhcOyDUM1zn4Y5Ouq/Y1bRARW/wXO8LkcGQPYfMFz+7cu37539ec/PO/Mkjk9EKJX21Fakn2Igsg9Yu65RMA1iKzaYoKaVTFI0drO3DO2MdJKyLZ3N094Jt9azYX79+fTpz[/tex]由上述结果和式（１）即本题得证．
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    举一反三

    内容

    • 0

      证明: 任意一个秩为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的矩阵都可以表示为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 个秩为 1 的矩阵之和.

    • 1

      证明：任意一个秩为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的矩阵都可以表为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个秩为1的矩阵之和。

    • 2

      证秩为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的矩阵可表示为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个秩为 1 的矩阵之和.

    • 3

      证明: 实对称矩阵 [tex=0.786x1.0]Gl8myqGBf3V5xKlLwXodGw==[/tex] 是秩为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的半正定阵的充要条件是, 存在秩等于 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的 [tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex] 矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=3.357x1.143]rBiqGaSDVnQOpJm3gHRQdr95ppa2wBY12deY6FUqLHU=[/tex].

    • 4

      [tex=2.714x1.071]nCe3KjbN5N38t1r/7/3V+g==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的秩为[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]，则有[tex=2.571x1.071]O8MXxCyH82iQBjE8tUx7+Q==[/tex]的列满秩矩阵[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]和[tex=2.286x1.071]zXLE9Sy0lPfi6rhDrfbNLg==[/tex]的行满秩矩阵[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]，使[tex=3.0x1.214]InSRQVNnaVoKAJCKaKaLlw==[/tex]．