设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上一个[tex=2.357x1.071]QArHY/B/HPaeI4OFb8f5sA==[/tex]矩阵，证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的秩为[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的行向量组的一个极大线性无关组与[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的列向量组的一个极大线性无关组交叉位置的元素按原来的排法组成的[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]阶子式不等于0

2022-06-08

设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上一个[tex=2.357x1.071]QArHY/B/HPaeI4OFb8f5sA==[/tex]矩阵，证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的秩为[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的行向量组的一个极大线性无关组与[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的列向量组的一个极大线性无关组交叉位置的元素按原来的排法组成的[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]阶子式不等于0

答案：

证明：设[tex=5.5x1.071]BANFvNwJZ0pRQZSs8aodos3XIhLimqGf46uYlx8lVTQjr9tfyN30r8Zkbw0RWYmbHoRMIQWG7esHZaUu9C3U+g==[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的行向量组[tex=5.071x1.0]tKSc18kIzvy3uQ6pMTaNu8jD+6sVywOwooCzInzuwuuQX0Ubo0yssbBTdDfynS9r[/tex]的一个极大线性无关组，[tex=1.643x1.071]qulE2au0sCsC2RUF6/a3J1JEMw02dJVbbxzJo/TxFWQ=[/tex][tex=5.071x1.071]qulE2au0sCsC2RUF6/a3J68rXzocsgAwViIEEeM/A91HxouKV/hrQ/Dpsql8VCduDGB1vPvY1/Rqbly0t70kuGPH/nSEVK7BXswNU0Dn5HI=[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的列向量组[tex=5.857x1.0]qulE2au0sCsC2RUF6/a3Jzvc72/Ojlqjke3MkB3mi/ocVm1zbQVoiZ3n4s0Tg+Dc45+elqriSpPEWcyj1VXmQh9XmQAzovHhHz+MBI/bpWA2yUCGWWuQGkPx34s1WNz9[/tex]的一个极大线性无关组，令[tex=6.714x5.214]Mf48ZvlGuYH+ri/sdxFYhy2zBHznB3Rw5HL1ps8vwCb3y3uhBi35Yk9SFXk3Uvvuom7RaZDKjTp1XdlBEmp9cX9TS241mC+gzuC08xo4Xq4Q+3WoagyL/MLm1NIrP+JbyGV77YcEu0iH5tf4XJNErwg/ivf/92StebPo3Y9S03CGgACpJVkVNFmgWuevt9+RW+fnbzlagVZEppIiyr1SAQ==[/tex]则[tex=6.857x1.357]k8PvTJe4iQVkvPfhUhxDGNIr4rJtG9a7DpgCYAuCWk3bAkM0MPdbBKY45jBfwCNc[/tex]的列向量记作[tex=5.857x1.214]MRtUPvGvpxtnJ8YtAP0cAC/XwrykxiDVa61CsGs8aUGY2vKRwELb/veXK0ATevDExvCYrA/Ye228lx4KmDCfoF9R6R7KXszNnQ4LUh9a8Bk6LZCAsTUqpGir77Lp6mXADgse3Dah4fhzaGfXPNAQJg==[/tex]，它们是[tex=5.857x1.0]qulE2au0sCsC2RUF6/a3Jzvc72/Ojlqjke3MkB3mi/ocVm1zbQVoiZ3n4s0Tg+Dc45+elqriSpPEWcyj1VXmQh9XmQAzovHhHz+MBI/bpWA2yUCGWWuQGkPx34s1WNz9[/tex]的缩短组.由于[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的每一列[tex=1.0x1.0]qulE2au0sCsC2RUF6/a3J4CKtY05IUYjmQvVT8CzLZA=[/tex]可以由[tex=1.643x1.071]qulE2au0sCsC2RUF6/a3J1JEMw02dJVbbxzJo/TxFWQ=[/tex][tex=5.071x1.071]qulE2au0sCsC2RUF6/a3J68rXzocsgAwViIEEeM/A91HxouKV/hrQ/Dpsql8VCduDGB1vPvY1/Rqbly0t70kuGPH/nSEVK7BXswNU0Dn5HI=[/tex]线性表出，因此[tex=1.143x1.214]AQwMhnZezaFSa5n7pa0fZg==[/tex]的每一列[tex=1.0x1.214]Ct28ABOtptWASvdSpnNrnOsGL087PY1kl57YWNwTvZgZWHWpN2Zuz//95oCJbqed[/tex]可以由[tex=6.214x1.286]MRtUPvGvpxtnJ8YtAP0cAKSgKMnolTAntFUYvxPMwa2wXseYAihxi+OStRQXaNxDn+rg1taMUagZfJwgJzIKpe3GQVBoxUuADtpsPh4lm/TQK5SWXvygTIfK0Rp01EgFDq57PTAbT0kRU17Mmh+uRbdLv523uajlgeXjHYKv5qw=[/tex]线性表出.由于[tex=5.429x1.357]k8PvTJe4iQVkvPfhUhxDGNIr4rJtG9a7DpgCYAuCWk2g1gulz6YupiY14ENUoyME[/tex]，因此[tex=6.214x1.286]MRtUPvGvpxtnJ8YtAP0cAKSgKMnolTAntFUYvxPMwa2wXseYAihxi+OStRQXaNxDn+rg1taMUagZfJwgJzIKpe3GQVBoxUuADtpsPh4lm/TQK5SWXvygTIfK0Rp01EgFDq57PTAbT0kRU17Mmh+uRbdLv523uajlgeXjHYKv5qw=[/tex]是[tex=1.143x1.214]AQwMhnZezaFSa5n7pa0fZg==[/tex]的列向量组的一个极大线性无关组.从而[tex=6.214x1.286]MRtUPvGvpxtnJ8YtAP0cAKSgKMnolTAntFUYvxPMwa2wXseYAihxi+OStRQXaNxDn+rg1taMUagZfJwgJzIKpe3GQVBoxUuADtpsPh4lm/TQK5SWXvygTIfK0Rp01EgFDq57PTAbT0kRU17Mmh+uRbdLv523uajlgeXjHYKv5qw=[/tex]组成的子矩阵[tex=1.143x1.214]i7prDsfVVgAb+GT/eGkn2Q==[/tex]的行列式不等于0.即[tex=12.786x2.786]UCm8jNMlvFhFafPwI5jZtZp6Wulll8WlH28LjOZASkFEiwN3JFa5Ct7UY4tYXwiHQDOy8M4P39KbXRq/ezPlxjg8Ioco/T2SW/XM14CGx7U3FIVqILkYVgXe/LNgvXN2nevfQQlTyNQCjMUYBXizIo4GzM5MB6VGezQjvViBaYY=[/tex].由于[tex=17.071x1.357]pKMYxvj1oXFiIilerWPCAezzxz0KegasQfuAy0IXzHoDGW+vFszyne9fPR/RkvooEZAosVISVNjOQcevvWmv0Trnpp+JIR4x8kzuWUalBDmrRNRILerfGPS+sL05QIeJ[/tex]因此上述[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]阶子式是一个[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]级斜对称矩阵的行列式.由于奇数级斜对称矩阵的行列式等于0，因此[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]必为偶数.

举一反三

内容

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设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上[tex=2.357x1.071]QArHY/B/HPaeI4OFb8f5sA==[/tex]矩阵，证明：[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的秩为[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]当且仅当存在数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上[tex=2.143x1.071]Rtxts52p4rdDLdHA6Amz2w==[/tex]列满秩矩阵[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]与[tex=2.286x1.071]Ef3ubbPzNaK2nOISNr/qww==[/tex]行满秩矩阵[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]，使得[tex=3.071x1.0]Mb/+JoHmaaZzuBXR7KsjSg==[/tex].
1
设向量组[tex=4.714x1.0]qulE2au0sCsC2RUF6/a3Jz+bwfwPeEraqg452x6rdusBeuEbPyHyGf2YX5cxbX/RbySt4XJ4XjHEzJCJ2bsA0A==[/tex]的秩为[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]，证明：[tex=4.714x1.0]qulE2au0sCsC2RUF6/a3Jz+bwfwPeEraqg452x6rdusBeuEbPyHyGf2YX5cxbX/RbySt4XJ4XjHEzJCJ2bsA0A==[/tex]的任意[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。
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设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵。证明：如果[tex=1.429x1.0]id8CqLD3sKgZOEL0mYn1xA==[/tex]中任意非零列向量都是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征向量，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]一定是数量矩阵。
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设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级可逆矩阵，证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]有特征值，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征值不等于0.
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设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是线性空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]上的可逆线性变换．证明：１） [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征值一定不为０；２）如果[tex=0.643x1.0]7dwHQGHL24uGORI8NryViw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征值，那么[tex=1.643x1.357]7hXLKuNcz29qRRA2zjn4rA==[/tex]是[tex=1.714x1.214]d+9NDUvA5ZDrRGeFW5fxcQ==[/tex]的特征值．