设[tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的函数，证明: [tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]在[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的可测当且仅当对一切有理数[tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex]，[tex=7.571x1.357]J40NUMj31BesXCdVzyyGwmPUdeytQoo1BIdzDHwhKqs=[/tex]是可测集.

2022-06-09

设[tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的函数，证明: [tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]在[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的可测当且仅当对一切有理数[tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex]，[tex=7.571x1.357]J40NUMj31BesXCdVzyyGwmPUdeytQoo1BIdzDHwhKqs=[/tex]是可测集.

答案：

证: [tex=6.143x1.429]61kslYVazZ7vB36lbPi1faEn8w04vi0l71chGauzrAoZ7/t+n5scXH6EQ1xTlach[/tex]，取单调递减的有理数序列[tex=3.071x1.357]8HIIloshNWwhIMlQSP1biE55YOlNNH8eN6H3JMbfD+60sqG7atNRHd1Ms/DuD7vK[/tex]使得 [tex=4.643x1.857]5JvicCfBXr3CVRFjBD5jWw0MPyP2g3lFrle58gWHGuOEJpcrGU7Bo0hzjz8jnq/d[/tex]，则[tex=17.357x3.286]n2/ZOCnGWDpyhGKogNgsWYRSiELf/9byWBjPXF5ITx9ruyBisg+9Zc8gwskfq0seiSJAeaNUtid5KYXuU0Xuyk/KXv+IQDPz1/kaWdiyOGo=[/tex]. 由每个[tex=7.357x1.357]r21kH1u/E4wxaQ1a4i/1bALktrLdf3fmqCFy1a/lEzFSA5XSO7GVJaB2JXYGrnVZ[/tex]的可测性，知[tex=7.643x1.357]n2/ZOCnGWDpyhGKogNgsWXwUOWrIEUiU8bQnTl3V2HY=[/tex]可测.从而， [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的可测.[tex=2.071x1.357]afOoNn/3u7m89KNP322PSQ==[/tex]设[tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]在[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的可测，即[tex=2.786x1.214]C/U6swDOKzNEB37J11MOyhRCGG6FrZ3DymJMzGPDiPc=[/tex]，[tex=7.643x1.357]J40NUMj31BesXCdVzyyGwtcltYL724cyrHKGr/399vQ=[/tex] 可测.特别地，当[tex=1.786x0.786]uXfrbEZGQah0+IKWsYzclA==[/tex]时有理数时，[tex=7.571x1.357]n2/ZOCnGWDpyhGKogNgsWTXvQQ16uvGPI0tekc/JVZQ=[/tex]可测.

举一反三

内容

0
证明可测集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上的连续函数[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是可测函数.
1
点集[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]为闭集当且仅当[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]中的收敛点列的极限仍然属于[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]
2
证明可测集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的常值函数 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是可测函数.
3
设[tex=0.857x1.214]jRMcFkcgjPHPDQtqH8URqw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的可测函数，证明：对[tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]中的任何[tex=1.143x1.214]ylD2PNUVMsRGqEJdBGCQVA==[/tex]型集或 [tex=1.071x1.214]vG+JSlAMonmU7rsonZeVJQ==[/tex]型集[tex=1.0x1.0]ZvOEA2y6SawaAuZNJoP8IQ==[/tex]，[tex=3.286x1.5]tTBpYb6U5GjhZwQn0977Mg==[/tex]是可测集.
4
设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在有界开集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上一致连续。证明：(1) 可将 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 连续延拓到 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 的边界；(2) [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上有界。