设[tex=0.643x1.286]yDeddh0uuIG4+CMuFZqEpw==[/tex]是可测集[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]上的函数，且对任意[tex=2.0x1.071]cEfxtcWLM4J1W7/FE7wQ7Q==[/tex]，[tex=3.143x1.357]P92DFuVaaVh64ghcwvgpQQ==[/tex]可测。试问：函数[tex=0.643x1.286]yDeddh0uuIG4+CMuFZqEpw==[/tex]一定在[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]上可测吗？

2022-06-09

设[tex=0.643x1.286]yDeddh0uuIG4+CMuFZqEpw==[/tex]是可测集[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]上的函数，且对任意[tex=2.0x1.071]cEfxtcWLM4J1W7/FE7wQ7Q==[/tex]，[tex=3.143x1.357]P92DFuVaaVh64ghcwvgpQQ==[/tex]可测。试问：函数[tex=0.643x1.286]yDeddh0uuIG4+CMuFZqEpw==[/tex]一定在[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]上可测吗？

答案：

解：不一定可测。例如，在可测集[tex=3.571x1.357]Hvwx/7Sf1DGZYn5wfLfCAQ==[/tex]上去一个不可测集[tex=1.143x1.214]+wWcYNakNcO5VRUOxoCiAA==[/tex]使其不含0。作函数[tex=10.786x3.071]ACpG7W/lXiEwdW69ASBj85Er2nB0D/N6VckH20oT0k5Pugj1drHkQBG4FUnboZL97ecJ1OMnYojZpmZyjf1Wh2HzkEL+X6RX/TWvkkd2OfsFA52Boc99k2owjH8A6x05FSyjJAh3WMTS+kvQ/Y5vOg==[/tex]，显然，对于任意[tex=2.5x1.286]VhDY6jfl2Mn3UDfrOC2Dow==[/tex]，[tex=3.643x1.286]0njKpo7P5YKLUORQqU91M0v1Ahz3tOI7QRrobdFwZvY=[/tex]为空集或单点集，从而可测。但因[tex=6.071x1.286]ojpxbQTLRmyvcyurZC4DTjOhy1h0TReN05v4P9zHZqk=[/tex]不可测，所以[tex=0.643x1.286]yDeddh0uuIG4+CMuFZqEpw==[/tex]不是[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]上可测函数

举一反三

内容

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试证：若存在[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]可测集[tex=3.0x1.286]I79aYBoL0h0VrT1cNz3BXw==[/tex]，且满足[tex=3.714x1.286]ouHwazpEMGzsC3pinZLV67i+ES8vyIBzFPR4y/jFPrw=[/tex]，[tex=10.357x1.286]v3LsLkv58cyqvCwyULOtH27A9bwhJzXQwvzduccPoHJaE/sjcZrJwsqoeULzjnSB[/tex]，则[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]为[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]可测的。
1
设在可测空间[tex=2.714x1.286]69WxHq9qVD3fugCNrjvk4g==[/tex]上给定两个测度[tex=1.0x1.286]aDm8yaPYi/7czcKITm1eEQ==[/tex]，[tex=1.0x1.286]J1YJfJNI1jkFPLD6AZTN5A==[/tex]，令[tex=7.0x1.286]j4JTUmYa5ZzKaC5WD2E41hglT7FN3XsUwCVffR5QzMdWKffgG/HRlzXNecwgwRt7[/tex]（[tex=0.929x1.286]9U2j1Gbqm0O79gD5ES/JNw==[/tex]，[tex=0.929x1.286]HEtnRRsrwqE/GmGq6JzdiQ==[/tex]是任意实数）。试证存在[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]的分解[tex=4.786x1.286]iLCC2lx+uE9bggBFY/udzg==[/tex]，[tex=4.643x1.286]vYeBzfi61ys+UFaW5jjlt7zUfJ6spdX1WMv7YjhyeaU=[/tex]，使[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]的正集，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]的负集（[tex=0.643x1.286]LHHF5r8Y9VBlpolr/GDm2w==[/tex]的正集[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的定义为：对每个可测集[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]，[tex=2.643x1.286]u6L3OnfpCXjQuwSWwkH/JQ==[/tex]可测，且[tex=5.714x1.286]CvK0ZVPuwKRZT5Xegwx4XhjeAsgtfotHgocHG5nGY+g=[/tex]，负集的定义类似）。
2
设[tex=2.0x1.286]sm3T2ruMn1VSchdZp7MIUg==[/tex]是[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]上可测函数列。试证它的收敛点集与发散点集都是可测的。
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假设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex], [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 是 [tex=3.214x1.286]yePBYl9xv7kDrRe8qWAqOx8gDJv0w9r7XEEZnI3vGtQ=[/tex] 上的可测函数并且 [tex=4.643x1.286]6KgixuUk177tI70l96RfM94Z9RpCl2TOiEKLXnDj++g=[/tex], 若 [tex=4.786x1.286]KP7ByX78YNnXEQh8XznF7w==[/tex] 在 [tex=2.786x1.286]ZW7AECdvr1a0K279jQUMww==[/tex] 上可积, 试证明 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex], [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 都是 [tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex] 上的可积函数.
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设 [tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex] 满足 [tex=3.214x1.286]cvAY9E7UF36dthufM/tQNQ==[/tex], [tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex] 为 [tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶单位矩阵, 证明[tex=9.714x1.357]AFouNbsjp27z7y7knT2SxLqKaXIUbeUPDvoU85KbKwo=[/tex].