设 [tex=2.786x1.357]yD5alZ3X9bU+/DKNfWUhhw==[/tex] 为 18 阶循环群. 试求出 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的全部生成元与全部子群,并证明 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的任何子群都是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的不变子群.

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2022-06-09

设 [tex=2.786x1.357]yD5alZ3X9bU+/DKNfWUhhw==[/tex] 为 18 阶循环群. 试求出 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的全部生成元与全部子群,并证明 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的任何子群都是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的不变子群.

答案：

解题过程   设 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的子群,由于循环群都是交换群,则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 也是交换群,那么 [tex=5.786x1.214]A9yMTS1aEcxvySzOvCfGxPMshVJflaiHhq0qBix/yvY1O5o85UnTAOq1xu1rt8fp[/tex] 都有[p=align:center][tex=10.857x1.429]w8W0EZjTi+O2A3vcv/fVpfBCOriZyfP7DP+aD+1LcotJ49iZ9u5IMKSgLszMC2Ep[/tex]因此, [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的不变子群.[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的生成元分别为 :[p=align:center][tex=7.0x1.429]uQWUXl7pYbt3BMRdl5NiZhvrK15c39B0GXe9o6hfRpsAuKscwbE1DEYyoOWAKSt8[/tex][tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的子群分别为:[p=align:center][tex=15.286x1.571]vDoW8m1TJN7+SEMmV3qtQK7YDu9kdwJMJKbxiXcWaFQZjsn644I+BGM6z8PGlv/Vs4cH1NY560wI4WwnF9SGDMoQlPcSeMNmKCJ8/0AKuTZRIqA7oUfwaBCr0nyJpaapWwSMjU3LCahWrQpmJZn5iBOieK/we6lA76eYw4NCBT6Vgnc/b7Z/WmS5HZF+/rPeSccqZ7AGeoIpDe7uAJvfD08kdMtVdYtsHAjThvgNkktf4gfvjtY349QO0l1BGThuDP1el8ss3SEhIFyq+QnDtuiW2Wd5TYtEB6RZDA99IPs=[/tex]

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是由6个元素构成的循环群，[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个生成元，则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有______个子群，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的生成元是______.
1
设[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个子群，证明：[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的特征子群，当且仅当对[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个自同构[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]都是[tex=3.786x1.357]/hUAIv2XJLX3YXBqW5nP/A==[/tex].
2
设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有有限个子群，证明[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]必为有限群。
3
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个 21 阶的非循环群, 试问 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有多少个 Sylow 3 子群?
4
证明：群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]仅有平凡子群的充分必要条件是[tex=3.071x1.357]lhn0XHWkDQjpgStNKz1WNg==[/tex] 或 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是素数阶循环群.