设$S$为单位球面$x^2+y^2+z^2=1$的外侧, 利用高斯公式计算闭曲面积分$$\int\!\!\!\!\int_S yzdydz+zxdzdx+xydxdy=$$
A: $0$
B: $\frac{4}{3}\pi$
C: $\pi$
D: $1$
A: $0$
B: $\frac{4}{3}\pi$
C: $\pi$
D: $1$
举一反三
- 设$S$为平面$x=y=z=0$, $x=y=z=1$所围的四面体表面并取外侧为正向, 则第二型曲面积分$$\int\!\!\!\!\int_S xydydz+yzdzdx+zxdxdy=$$ A: $\frac{1}{8}$ B: $\frac{1}{4}$ C: $1$ D: $\frac{3}{2}$
- \(已知曲面\Sigma:x^2+y^2+z^2=a^2被平面z=h(0 A: \[2\pi a \ln\frac{a}{h}\] B: \[3\pi a \ln\frac{a}{h}\] C: \[4\pi a \ln\frac{a}{h}\] D: \[\pi a \ln\frac{a}{h}\]
- 设$S$为$x=y=z=0$, $x=y=z=a$平面所围的正方体并取外侧为正向, 则第二型曲面积分$$\int\!\!\!\!\int_S y(x-z)dydz+x^2dzdx+(y^2+xz)dxdy=$$ A: $0$ B: $\frac{a^4}{2}$ C: $a^4$ D: $\frac{3a^4}{2}$
- 积分$\int_0^1 x \arctan xdx=$（）。 A: $\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$ B: $\frac{\pi}{4}$ C: $\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$ D: $\frac{1}{2}$
- 函数\(f(x) = x^2,\; x \in [-\pi,\pi]\)的Fourier级数为 A: \(\frac{\pi^2}{3}+4\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \sin nx ,\; x \in [-\pi,\pi]\) B: \(\frac{\pi^2}{3}+4\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx ,\; x \in [-\pi,\pi]\) C: \(\frac{2\pi^2}{3}+4\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \sin nx ,\; x \in [-\pi,\pi]\) D: \(\frac{2\pi^2}{3}+4\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx ,\; x \in [-\pi,\pi]\)