设A是n阶矩阵,且A＾2=A,证明r（A）+r(A-E)=n
书上例题.由A＾2=A得出A的最小多项式只可能是三种情形1）A=0,显然命题成立2）A-E=0,命题也显然成立3）A（A-E）=0,最小多项式没有重根,也就是说没有若当块,换句话说就是特征值0,1的特征子空间张满全空间.又因为Ax=0的解空间维数等于n-r(A),（A-E）x=0的解空间维数等于n-r(A-E),n-r(A)+n-r(A-E)=n,所以有r（A）+r(A-E)=n1),2)可以归为3情况,可以不用讨论1）,2）
举一反三
- 设A为n阶矩阵，且满足等式A2=A，E为n阶单位矩阵，则下列结论正确的是 A: r(Ａ)+r(A-E)＜n． B: r(Ａ)+r(A-E)=n． C: r(Ａ)+r(A-E)＞n． D: r(Ａ)+r(A-E)不定．
- 设`A`为`n`阶方阵，且`A^2=E`，则`R(A+E)+R(A-E)`的值为( ) </p></p>
- 设n阶矩阵A满足[img=43x14]17e0bc66d82bb58.gif[/img],E为n阶单位矩阵,则R(A)+R(A-E)=_____。 A: n B: n-1 C: 2n D: 2n-1
- 设A为n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，已知(A-E)B=0，(A+2E)C=0，r(B) +r(C) =n，且r(B) =r，则二次型xTAx的标准形为______．
- 设`A`为`n`阶方阵，且`A^2=E`，则`R(A+E)+R(A-E)`的值为( ) A: `n` B: `n-1` C: `2n` D: `2n-1`
内容
- 0
设A为m*n矩阵,P是m阶可逆矩阵,Q是n阶可逆矩阵,证明：r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
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30设`A`为`n`阶方阵，且`A^2=E`，则`R(A+E)+R(A-E)`的值为( ) A: `n` B: `n-1` C: 小于`n` D: 小于`n-1`
- 2
设A为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，A2=E，则一定有 A: r(A)＜n B: r(A)=n C: r(A+E)=0 D: r(A-E)=0
- 3
设A，B均为n阶矩阵，且A+B=AB．(1)证明A-E可逆；(2)证明AB=B
- 4
已知A,B均为N阶矩阵,且A2-AB=E,证明R(AB-BA-A)=N