设A为n阶矩阵，满足[tex=2.714x1.214]4L/EWHoLeKVwR1IkyZAsSQ==[/tex]，试证：r(A)+r(A-E)=n.
由[tex=2.714x1.214]4L/EWHoLeKVwR1IkyZAsSQ==[/tex]，可得[tex=4.571x1.357]EOQ1Rjmvh2eNjKR72INhKHzSz+V2bTW8d2+qkVKCLF7E6eVTluCWra9vcxUSupgp[/tex]，即A(E-A)=O.因此有r(A)+r(E-A)≤n.又因为A+(E-A)=E，所以r(A)+r(E-A)≥r[A+(E-A)]=r(E)=n，由此可得r(A)+r(E-A)=n.而r(A-E)=r(E-A)，于是r(A)+r(A-E)=n.
举一反三
- 如果n阶矩阵A满足[tex=2.714x1.214]4L/EWHoLeKVwR1IkyZAsSQ==[/tex]，则称A为幂等矩阵，试证幂等矩阵的特征值只能是0或1.
- 设A为n阶矩阵，且满足等式A2=A，E为n阶单位矩阵，则下列结论正确的是 A: r(Ａ)+r(A-E)＜n． B: r(Ａ)+r(A-E)=n． C: r(Ａ)+r(A-E)＞n． D: r(Ａ)+r(A-E)不定．
- 设A为n阶方阵,满足A²＝E,试证：R（E＋A）＋R（E-A）＝n
- 设n阶矩阵A满足[img=43x14]17e0bc66d82bb58.gif[/img],E为n阶单位矩阵,则R(A)+R(A-E)=_____。 A: n B: n-1 C: 2n D: 2n-1
- 设A是n阶矩阵,且A＾2=A,证明r（A）+r(A-E)=n
内容
- 0
设A为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，A2=E，则一定有 A: r(A)＜n B: r(A)=n C: r(A+E)=0 D: r(A-E)=0
- 1
设A为n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，已知(A-E)B=0，(A+2E)C=0，r(B) +r(C) =n，且r(B) =r，则二次型xTAx的标准形为______．
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设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)
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设n阶方阵A满足[tex=2.714x1.214]Ii7rpTBIBY9OnoDCpl0kqg==[/tex]，证明[tex=9.786x1.357]GH5L0kUmpGoEjzqFEb68KQ==[/tex]
- 4
设矩阵A为m×n矩阵，B为n阶矩阵.已知r(A)=n，试证：（1）若AB=O，则B=O；（2）若AB=A，则B=E.