证明:设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中两个元[tex=1.357x1.214]+pdC7fJtAbKz+aZMofI2DA==[/tex]可换,[tex=7.071x1.357]zX67bd6tu9e4T2QkSTgA9w==[/tex].记[tex=5.643x1.357]fneXNqMRGSYIG2T/gLCMsQ==[/tex]分别是[tex=1.929x1.0]+MkgvJhrh9DSU9I+bn6v4w==[/tex]的最大公因子和最小公倍数.则(1) [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中存在阶为[tex=2.714x1.357]IooXMH6oE8Nrn1BtkEXcMw==[/tex]的元.(2) [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中存在阶为[tex=2.5x1.357]al/2MYjbeMePccqht8d88g==[/tex]的元.

2022-05-29

证明:设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中两个元[tex=1.357x1.214]+pdC7fJtAbKz+aZMofI2DA==[/tex]可换,[tex=7.071x1.357]zX67bd6tu9e4T2QkSTgA9w==[/tex].记[tex=5.643x1.357]fneXNqMRGSYIG2T/gLCMsQ==[/tex]分别是[tex=1.929x1.0]+MkgvJhrh9DSU9I+bn6v4w==[/tex]的最大公因子和最小公倍数.则(1) [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中存在阶为[tex=2.714x1.357]IooXMH6oE8Nrn1BtkEXcMw==[/tex]的元.(2) [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中存在阶为[tex=2.5x1.357]al/2MYjbeMePccqht8d88g==[/tex]的元.

答案：

(1) 设[tex=11.857x1.357]UJsd39RKiVeXU4N19Tjh2pg1dvoIRP/P4AObLQ+EkjuUHTZZatQ2s/heLPoiWua0Tu6jtgy2c0HB/ZFiDWAVae8AzYgELuEjl4esIlZn9cc=[/tex],其中[tex=4.071x1.0]yhZIVr9WjpsNRTKPHxNhaHkcErmSJQr1Ww75lzxJTq8=[/tex]是互不相同的素数,[tex=2.429x1.0]TTh/1cDpl5I/fRXnSkGmUA==[/tex]均为非负整数.不妨设[tex=16.714x1.214]uyW9jkgxgcDFPbYJL700/yhHlpZLfJOp9pVFVM5ZH1Htx8ykLIVo3kzxuaMoIg9Z43NG6l8Ot5FEK2+WgTacVJ0ZFJosRQj9ZDUnKPlLPxoDzfZVZmELVLWXKs4TXU1+[/tex].令[tex=12.786x1.5]P7XYYKIjfQYmFEpAj9YqztFv4WObIVbAevwht6x6CovvG+zYEJPVkaOcx9K/ZUqbX5PgIQf0alFBj2wOjhWTtnn3h5T5jrdPQ9guaxqGfd97pX+RxKuk88H92VeIn+u9[/tex],则[tex=0.929x1.214]K7C+shic8R4MDwDVwmrLdw==[/tex]的阶为[tex=4.929x1.5]bd7V13F3mr7QzQwoeRtHaSUe8w1EZrvYnrFjbKRu8/SdyHO63hpiFSYD7W6OSh/1[/tex],[tex=0.929x1.214]uSrhDx47gc1H6piSIE8xyw==[/tex]的阶为[tex=3.929x1.429]KQRQ947x+RxazS6Up2AwtppmZyFrdhsjGfm0bEoX/hDPqvSdxQiY5bGn9z9/QoxZ[/tex].这两个阶显然是互素的,且[tex=0.929x1.214]K7C+shic8R4MDwDVwmrLdw==[/tex]与[tex=0.929x1.214]F/mxI0VZe0uuxlkb3+IcfQ==[/tex]可换,因此[tex=1.857x1.429]3AwOOkp4qD/Y5QJBSFJQeg==[/tex]的阶为[tex=12.357x1.5]lgtmmEDw/1AHdMrepxHh4GtSjwR1yxk4M5kmuAhywUVITi9bReVdgPk3AH0EmOj138To92i/Th80HG9iNk1Rwg5G9z3vblTKBRkfOtvRkDaKGuqOkYoh0BfjGTCoqVqP[/tex].(2) 类似可证.

举一反三

内容

0
(1) 设 [tex=5.429x1.357]63XbrxME7juP9elO/2D+JQ==[/tex]，若 [tex=0.786x1.071]uETXff//j2ZWAWKKK/gNiw==[/tex] 为模 4 乘法，则 [tex=4.0x1.214]q/cFnDu81CSjYhqvVaqBTA==[/tex] 构成 [tex=2.143x2.429]B4WqE+eQFiKCNwO/N/0owQ==[/tex]。[br][/br](2) 若 [tex=0.786x1.071]+ua1rbfuRSTeJaPcwNcotQ==[/tex] 为模 4 加法，则 [tex=4.0x1.214]2CkZa9zWVqjf3lMBTByShQ==[/tex] 是 [tex=2.143x2.429]KDHpKKzcuy2EtVaD+Pymyg==[/tex] 阶群，且是 [tex=2.143x2.429]XwwezCNP1LdILkmSF3LLJg==[/tex] 。[tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex] 中的 2 阶元是 [tex=2.214x2.429]iiXg+qNsowhzqwKRHiQXSw==[/tex]，4 阶元是 [tex=2.143x2.429]+8tJcF2FvSnxyGBIO3W07A==[/tex]。供选择的答案[tex=2.143x2.429]B4WqE+eQFiKCNwO/N/0owQ==[/tex]：① 群② 半群，不是群[tex=2.143x2.429]KDHpKKzcuy2EtVaD+Pymyg==[/tex]：③ 有限④ 无限[tex=2.143x2.429]XwwezCNP1LdILkmSF3LLJg==[/tex]：⑤ Klein 四元群⑥ 置换群⑦ 循环群[tex=2.214x2.429]iiXg+qNsowhzqwKRHiQXSw==[/tex]、[tex=2.143x2.429]+8tJcF2FvSnxyGBIO3W07A==[/tex]：⑧ 0⑨ 1 和 3⑩ 2
1
设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是[tex=1.357x1.357]1BnqVE0wa5Q10v1xdLbpkw==[/tex]的素因子, 则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]有[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶元.
2
下列代数系统[tex=2.643x1.357]ceH+eYnXqUT340bMKzk9Jw==[/tex]中，其中[tex=0.786x1.071]sISe4zlsm5XRzMPtQa+aFQ==[/tex]是普通加法运算，试说明哪几个不是群.（1）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为整数集合；（2）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为偶数集合；（3）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为有理数集合；（4）[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为自然数集合.
3
设[tex=2.5x1.071]3KYhnNyNEZhbPiBrM2rcCQ==[/tex],则有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中有偶数个阶为[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的元.
4
设群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中的元[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]的阶[tex=8.429x1.357]ojCap58Lcom5B8cK1IJ/lw==[/tex].则[tex=9.643x1.357]hYEGAFvkezx2LhzgNqghX2r1+8mDUk21IjOTgvin5kc=[/tex],且[tex=1.429x1.214]HCTRLtzxkeBZo1HKwKR3/g==[/tex]均为[tex=0.5x1.0]wLRBXo571ziKptAIyBBTRQ==[/tex]的幂.