举一反三
- 试证:群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的指数为2的子群[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]一定是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群.
- 设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex] 为群, [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中的 2 阶元,证明 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中与[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]可交换的元素构成[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群.
- 如果有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的每个极大子群都是单群且都在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中正规, 则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只能是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶群, 或[tex=0.929x1.429]Oe1sITdLfgoJMrP2LLsThA==[/tex]阶群, 或[tex=1.0x1.0]I5Z2flVFjMnDwqtQo3l5FQ==[/tex]阶循环群, [tex=1.429x1.0]oXDZBpqHCK0AEtZ4kgbZLQ==[/tex]是不同的素数.
- 设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶有限群,试证:若对[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的每一个因子[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中至多只有一个[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]阶子群,则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是循环群.
- 证明:设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中两个元[tex=1.357x1.214]+pdC7fJtAbKz+aZMofI2DA==[/tex]可换,[tex=7.071x1.357]zX67bd6tu9e4T2QkSTgA9w==[/tex].记[tex=5.643x1.357]fneXNqMRGSYIG2T/gLCMsQ==[/tex]分别是[tex=1.929x1.0]+MkgvJhrh9DSU9I+bn6v4w==[/tex]的最大公因子和最小公倍数.则(1) [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中存在阶为[tex=2.714x1.357]IooXMH6oE8Nrn1BtkEXcMw==[/tex]的元.(2) [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中存在阶为[tex=2.5x1.357]al/2MYjbeMePccqht8d88g==[/tex]的元.
内容
- 0
设[tex=2.5x1.071]3KYhnNyNEZhbPiBrM2rcCQ==[/tex],则有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中有偶数个阶为[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的元.
- 1
设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个元素都是有限阶元素（这样的群称为周期群），[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]为[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群，[tex=4.714x1.357]KgMBRWqzFg7+aCDKMSr+Pg==[/tex]，又[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中任何非幺元的阶不小于[tex=0.929x0.786]FTfUoplPStit3eMYfNbP0g==[/tex]，试证[tex=2.571x1.0]YyiYrIbed1bTdcaxb36/XfmDQoWJtBSkcWc6jjNXyq4=[/tex]。
- 2
设[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]是有限群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的自同构，令[tex=9.429x1.571]UHvZ2zvESKkDapN8v8oLOhiTCdj7DZqARhm61XW4KyK2H859EckJG846IuTt8RmL[/tex]，试证：若[tex=4.643x2.357]DN+jsGYmpAWDFgIZCDn98/2ozYGjzL5kYg9PStSaAz8=[/tex]，则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为[tex=2.0x1.0]D410Ra7tSYZfMF6ZtYg2KA==[/tex]群。
- 3
设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是一个素数, [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的方幂阶的群. 试证[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的非正规子群的个数一定是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的倍数.
- 4
证明:若群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只有有限多个子群,则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是有限群.