设群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中每个非幺元的阶为2，试证[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]为[tex=2.0x1.0]D410Ra7tSYZfMF6ZtYg2KA==[/tex]群。
举一反三
- 试证:群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的指数为2的子群[tex=0.857x1.0]HcQeTeQtUqN73yUJqDRZkQ==[/tex]一定是[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的正规子群.
- 设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex] 为群, [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中的 2 阶元,证明 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中与[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]可交换的元素构成[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群.
- 如果有限群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的每个极大子群都是单群且都在[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中正规, 则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]只能是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]阶群, 或[tex=0.929x1.429]Oe1sITdLfgoJMrP2LLsThA==[/tex]阶群, 或[tex=1.0x1.0]I5Z2flVFjMnDwqtQo3l5FQ==[/tex]阶循环群, [tex=1.429x1.0]oXDZBpqHCK0AEtZ4kgbZLQ==[/tex]是不同的素数.
- 设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶有限群,试证:若对[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的每一个因子[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中至多只有一个[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]阶子群,则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是循环群.
- 证明:设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中两个元[tex=1.357x1.214]+pdC7fJtAbKz+aZMofI2DA==[/tex]可换,[tex=7.071x1.357]zX67bd6tu9e4T2QkSTgA9w==[/tex].记[tex=5.643x1.357]fneXNqMRGSYIG2T/gLCMsQ==[/tex]分别是[tex=1.929x1.0]+MkgvJhrh9DSU9I+bn6v4w==[/tex]的最大公因子和最小公倍数.则(1) [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中存在阶为[tex=2.714x1.357]IooXMH6oE8Nrn1BtkEXcMw==[/tex]的元.(2) [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]中存在阶为[tex=2.5x1.357]al/2MYjbeMePccqht8d88g==[/tex]的元.