试证明下列命题：假设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是定义在 [tex=2.0x1.357]iavJqAznijPyoXL3RTXYGA==[/tex] 上的单调上升函数,则 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 可分解为: [tex=11.0x1.357]9ExEzQUPTS4Cm9dPOjdEB6k1YkhVWmh6wK9AX+Ki6T0=[/tex], 其中, [tex=1.857x1.357]4AsehPcyFJurfSXX5VJeww==[/tex] 是单调上升的并且绝对连续的函数, [tex=1.929x1.357]0fRX0V1rxv8nkoCpsr9nHQ==[/tex]是单调上升函数而且[tex=8.357x1.429]Ll1Seq9e7QZCzQNWBBJ6SSGfht5CoszGCiIYhtCMAtslZ/6wj98XUOXzUoqFzrr6[/tex].
举一反三
- 试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是定义在 [tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上的单调上升函数, 令[tex=11.571x1.286]SlPCSCkcyq+9vETnX4FxGzirQ8UeS/Z5iiRFlZ6LPvTXJXcLCG4Ck6NMK3PEbis7[/tex],则 [tex=9.714x2.857]v8dYDmjeifbMxF1xMKtGGHWsDx+1iOcafFQjAA6BoH0f+qaFtwTtXU21DcyEkdgl[/tex].
- 证明：若函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在区间[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex]，[tex=1.929x1.357]hp45PQvrPvS7e7qgE3Pr1A==[/tex]上单调增加(或单调减少 )，则[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在 区间[tex=2.0x1.357]lkx3C2xRSVDjN5Vayvd/5g==[/tex]上单调增加(或单调减少).
- 试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是定义在 (0,1] 上的实值函数,则必存在可测函数[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 与 [tex=1.929x1.357]0fRX0V1rxv8nkoCpsr9nHQ==[/tex], 使得[tex=10.429x1.357]AON31GdF0HDN0kIH5BlQ6hPGcgkrXUnRGNQN4wfqABqXIz3KmGxSDjhOaSi8HOCA[/tex].
- 试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的有界变差且连续的函数. 若对 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 中任一零测集 [tex=0.714x1.0]YEZ006Hwni4CHfhiGo7PZQ==[/tex],有 [tex=4.929x1.357]j3E5K1XnovebABusxSu2QQ==[/tex] (简称为[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]具有零测性,或称 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 具有性质[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex] ),则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的绝对连续函数.
- 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续, 且 [tex=6.429x2.857]v8dYDmjeifbMxF1xMKtGGOROme7UMSqlNsxt5NS/Crc=[/tex], 证明 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]iavJqAznijPyoXL3RTXYGA==[/tex] 上恒为 0 .