证明存在无穷多个形如[tex=2.357x1.143]H/bHg0/Isq3z6THLRmHazw==[/tex] 的素数.

2022-05-30

证明存在无穷多个形如[tex=2.357x1.143]H/bHg0/Isq3z6THLRmHazw==[/tex] 的素数.

答案：

证明     假设形如 [tex=2.357x1.143]H/bHg0/Isq3z6THLRmHazw==[/tex] 的素数是有限的. 令 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 是它们当中最大者. 考虑整数 [tex=7.857x1.429]2qYQv20pY9swHPjT7UHOxNvUyO5p9DJgdSMgg7/d/kY3PQJEkTXbPE6Z2crt9ilW[/tex], 其中 [tex=4.214x1.214]lXmc4CWvQQqTgx5D32/8AatMYngA1lVMKZFm9Qn0VUY=[/tex] 表示所有小于或等于 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 的奇素数的乘积. 因为 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 是形如 [tex=2.357x1.143]H/bHg0/Isq3z6THLRmHazw==[/tex] 的,而 且 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]大于 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex],由 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的假设知,[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 不是素数. 显然,[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 的所有素因数必须大于[tex=0.786x1.0]yRAuUeUhrcJmsScGwZpk2g==[/tex] 由于[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 的因数只能是形 如 [tex=2.357x1.143]16iX2akDSL7w0mEx9MnAeg==[/tex] 或 [tex=2.357x1.143]H/bHg0/Isq3z6THLRmHazw==[/tex] 的,而两个形如[tex=2.357x1.143]16iX2akDSL7w0mEx9MnAeg==[/tex]的数相乘仍是 [tex=2.357x1.143]16iX2akDSL7w0mEx9MnAeg==[/tex] 形的,因此 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 至少有一个形如[tex=2.357x1.143]H/bHg0/Isq3z6THLRmHazw==[/tex] 的素因数,设为 [tex=0.5x1.0]jedlXyMYwmfVwxRj2j9sSw==[/tex], 而 [tex=2.286x1.071]HUVk6HkuuHGIHKMVrbS2pA==[/tex], 这与 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]为最大矛盾.

举一反三

内容

0
试证明下列命题：设 [tex=6.143x1.357]EqItgFetdjuDHVHi1rolxx8SOP/WVLSQA14rviOlr4s=[/tex] 是无上界开集, 则存在 [tex=2.214x1.214]5R+vkuuBqoy9bg5ntuRMGg==[/tex],使得 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 包含无穷多个形如 [tex=4.429x1.357]dHbxyMgT/mRVH8O4WLaX5cTu+dorvCOzo0FErrZ+GAg=[/tex] 之点.
1
利用狄利克雷定理，即在算术级数[tex=2.286x1.143]3aItE8IyR8x2Q73AcYBZ5w==[/tex]中存在无限多个素数，其中[tex=5.0x1.357]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83xaRIGMLgkHJBMALQIH0kz+rU674XdK5glooCRpn0wBE[/tex]，证明存在无限多个其十进制展开式最后一位是1的素数。
2
试证: 形如[tex=2.429x1.143]JxfBo+OraKlGq1VcXWtFPQ==[/tex] 的数中包含有无穷多个质数
3
通过证明[tex=4.214x1.214]Spb+1muP4mV4N7G/SdMCfVeS6pXd7byKA6DDaL3bzjY=[/tex]必定有大于[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的素因子，其中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是正整数，从而证明存在无限多个素数。
4
设[tex=5.143x1.0]MaGhJWS2FHfudIt5QFtcksyuapet7PHXkDZuXtFhTmk=[/tex]是两两不相同的素数,而[tex=8.286x1.357]EdueesLDl9U4FsRetD1LKFeobKQ2iHhc1byDJZEGpnx+yLXiuyGG8NfnkClruMXe[/tex]，(i)证明[tex=2.5x1.143]4VSzni8cw+YhfxCK3h1OjUTZkAy4HD6SH/MQlKemX1E=[/tex][tex=6.429x1.357]srIySWZMQhcczOASy4d8jpDR8YFtSOWTSw5H10MXsZE=[/tex]；(ii)利用(i)证明,素数有无限多个.