证明：数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个次数大于零的多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=1.786x1.357]fYQETKmUABbcGa9oo7MEAQ==[/tex]中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件，是对于任意[tex=4.286x1.357]YV2Ax5qSHlbTZtjZWNTl8bCSRS9PKa8xONN+hdxei88=[/tex]，或者[tex=6.0x1.357]/5+zYQX4jyZ3elrPZFEHJw==[/tex]，或者存在一个正整数 [tex=0.929x0.786]FTfUoplPStit3eMYfNbP0g==[/tex]，使得[tex=5.214x1.357]yg7dmTEy5PSvlHeAy1uLUvY1ybA5kUMiOhDz4/gBiwU=[/tex].

2022-06-01

证明：数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个次数大于零的多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=1.786x1.357]fYQETKmUABbcGa9oo7MEAQ==[/tex]中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件，是对于任意[tex=4.286x1.357]YV2Ax5qSHlbTZtjZWNTl8bCSRS9PKa8xONN+hdxei88=[/tex]，或者[tex=6.0x1.357]/5+zYQX4jyZ3elrPZFEHJw==[/tex]，或者存在一个正整数 [tex=0.929x0.786]FTfUoplPStit3eMYfNbP0g==[/tex]，使得[tex=5.214x1.357]yg7dmTEy5PSvlHeAy1uLUvY1ybA5kUMiOhDz4/gBiwU=[/tex].

答案：

证  必要性。设[tex=5.143x1.357]QJtL8yC3wqCCj+hsBILWfQ==[/tex]（[tex=1.857x1.357]YgqrIVc9fHf3i2mhYVpCJg==[/tex]不可约），则对于 [tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]中任意[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]，或者[tex=6.071x1.357]hwCzsTqX6OkPtdbOifmbv765SJk0gLycB+G1XKcZQeQ=[/tex]，或者[tex=4.571x1.357]yOyH9WGEdakx47yTMUJ/qAG7LUpVFYIOzNODeDvbQnM=[/tex].在前一情 形有[tex=6.214x1.357]SCBkc5H4H7gXsFShGuBkXHGQ7amFMmuOXsrvhaPqenQ=[/tex]；在后一情形因[tex=5.857x1.357]zH7H00nC8S0i/6fiI1vXa6YFgWdDRzKQ/Clg6bRVRtU=[/tex]即有[tex=5.214x1.357]9T5UhrT35UZR0aUz8UhOACzfBYjHMhuPjWsESTWzqRA=[/tex]充分性。用反证法。设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]满足条件但有典型分解式 [tex=12.071x1.357]I8KeQRZzg8KWdFuh2RAT79WYvZJmrtO5M5iWRmO//MMuXSGvJZNCXOfNndPXdvVmu/zjjf1bTfkwxqmEpppUQavmRhnEgYqgq6qKuVY90GY=[/tex]，其中[tex=1.786x1.071]cyjkguCmSv+vUT2bvrcJLA==[/tex]，则当[tex=4.857x1.357]lyWjT33U3T2tU7ZrPoWs8w==[/tex]时，[tex=10.143x1.286]IFQCHWTxZ9QQazqbiuS4+kf26c3oJ+W4CND2KyCAhM5oZ6vrfgjJSzeEl5bUh6UN[/tex]且 [tex=5.214x1.357]nauqeG7A+ZFhkY8JgEk+gCmHfT3oSAVgTeKMdYtw2/U=[/tex]，这与假设条件矛盾。故必有[tex=1.786x1.0]FmR+PlFi0xYhm0ukoA8kEg==[/tex]，即[tex=5.357x1.357]I8KeQRZzg8KWdFuh2RAT74aNBGsXxl3OjjpTZOrPVMQ=[/tex].

举一反三

内容

0
证明 : 数域 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上一个次数大于零的多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=2.0x1.357]beH6DnGK6LEsYI2cIHxhuQ==[/tex] 中某一不可约多项式的正整数次幂相伴的充分必要条件是对于任意 [tex=2.143x1.357]DehHmA4rq5j2d0PvjVvpOA==[/tex] [tex=4.857x1.357]qJAnCbhLgDqDww+rdytG+A==[/tex] 从 [tex=6.429x1.357]PPTewQDiYIYKJK37NA0z1D5KnwXkoIuzlsvhr/yFhWQ=[/tex] 可以推出 [tex=4.5x1.357]ShTuQDB0guSKuvZOgm7LB0dGW2npF11Qsz8N+RlM50c=[/tex], 或者存在一个正整数 [tex=1.214x1.0]0+c/4hmvIG0q6AFNhqYE7A==[/tex] 使得 [tex=5.571x1.357]XTBSgIgUDOPZF9keaEPYftZ9Ze93CzjJDkKAwVxJNL8=[/tex]
1
证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=4.357x1.357]F1f8zViUd7VhcJNj5UiMOw==[/tex]由[tex=6.429x1.357]+R1jMtRVS9GlP1JySUA042rLPoIBK7wxj5QpIcRaGxc=[/tex]可以推出[tex=4.5x1.357]FaA0fV7n/wS3/nDLA7r3/A==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.286x1.357]KMZts2a879HuQuu4qlYiGaU8q1l70NvoqNjuWLNQAiQ=[/tex].
2
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵。证明：存在[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个非零多项式[tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]，使得[tex=3.571x1.357]OOyEFi5Qx/r8c8gc6BAiHg==[/tex]。
3
域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的次数[tex=3.643x1.357]G/HL1Sgqu9eq+9Iw0Nh2LyI0gPsOjzMUFW3qsk7tdd8=[/tex]中主理想[tex=2.643x1.357]SepfkGWj7dEbuVVTkeNOJg==[/tex] 是素理想当且仅当[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是不可约多项式.
4
证明:次数 [tex=1.571x1.071]qH46Df5l2YhGU+w85yZX6Q==[/tex]且首项系数为 1 的多项式 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为,对任意的多项式[tex=1.857x1.357]uQafhAujpSLbF4Vj5vYNRQ==[/tex]必有[tex=6.643x1.357]Xwpaoo5DnaPc/Ov5LaJCSMCT1QKvyxE16rWLgeNJj18=[/tex]或者对某一正整数[tex=6.786x1.357]WLVodeZWTwo7cgr+pkGMbIzjBFRlcpYXJwY0QjPwPVw=[/tex]